S´eries num´eriques et int´egrales g´en´eralis´ees
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FICHE 3 : INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES
Exercice 1
Etudier la nature des int´egrales suivantes : 1. ∗R+∞
0 e−tdt 2. ∗R+∞
0 1 1+t2 dt 3. ∗R+∞
2 1 t(t−1)dt
4. ∗R1 0 lntdt 5. R1
0 cos2(1/t)dt 6. R+∞
0
1−cost t2 dt
7. Rπ/2 0
1 sinxdx 8. R+∞
0
√t et−1dt 9. R1
−1 sinx x(2x−1)2 dx Dans les cas *, calculer l’int´egrale g´en´eralis´ee.
Exercice 2 : int´egrales de Bertrand
1. On souhaite d´eterminer la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
2
1
tα(lnt)β dt (α, β ∈R) (a) On suppose α = 1 : calculer RA
2 1
t(lnt)β dt pour A ≥ 1 et en d´eduire les valeurs de β pour lesquelles l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
2 1
t(lnt)β dtconverge.
(b) D´eterminer la nature deR+∞
2
1
tα(lnt)β dtselon les valeurs deα6= 1 etβ (distinguer les casα >1 et α <1).
2. D´eterminer la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee Z 1/2
0
1 tα|lnt|β dt Exercice 3
Etudier la nature des int´egrales suivantes selon la valeur de a∈R : 1. R+∞
0 e−atdt 2. R+∞
2 (√
x4+x2+ 1−x√3
x3+ax)dx
3. R+∞
0
lnt (1+t2)adt 4. R+∞
0 xa−1e−xdx
1
Exercice 4
1. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
0 e−tsintdtdiverge.
Indication : consid´erer Ryn
xn e−tsintdt pour (xn)n et (yn) des suites bien choisies.
2. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
1 (sint) (sin1t) dtconverge.
Indication : on pourra commencer par ´etudierR+∞
1 cost
t2 cos(1/t)dt.
3. Etudier la nature de l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
2
1−cosu lnu du.
Exercice 5 : transform´ee de Laplace
Soitf : [0; +∞[→Rune fonction continue telle que Z +∞
0
f(t)e−s0tdtconverge (s0∈Rfix´e).
1. Soit F une primitive de t 7→ f(t)e−s0t sur [0; +∞[. D´emontrer que F est born´ee. En d´eduire que, si s > s0, l’int´egrale R+∞
0 f(t)e−stdt converge.
2. Sur le mˆeme mod`ele, montrer que sig: [1; +∞[→Rest une fonction continue telle queR+∞
1 g(t)dt converge, alorsR+∞
1 g(t)
t dt converge.
Exercice 6
Soitf une fonction continue born´ee sur [0; +∞[.
1. D´emontrer que les int´egralesR+∞
0
f(x)
1+x2 dxetR+∞
0
f(1/x)
1+x2 dxsont conver- gentes. Montrer qu’elles sont ´egales.
2. Application : calculerR+∞
0
1
(1+x2)(1+xn)dxetR+∞
0
xn
(1+x2)(1+xn)dxpour n∈N.
Exercice 7
1. Pour x ≥ 1, on pose f(x) = xeix3 : v´erifier que |f(x)| −−−−→
x→+∞ +∞.
Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
1 f(x)dxest convergente. Est- elle absolument convergente ?
2. Donner un exemple de fonctionf : [a;b[→Rv´erifiant f(x)−−−→
x→b +∞
telle que l’int´egrale g´en´eralis´eeRb
af(x)dx converge absolument.
Exercice 8
Soitf : [0; +∞[→[0; +∞[ une fonction continue d´ecroissante, de limite nulle en +∞.
1. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
0 f(t) sin(t)dtest convergente.
2. On suppose f(t) ≥ 1/t pour t ≥ t0 : prouver que R+∞
0 f(t) sin(t)dt n’est pas absolument convergente.
3. Application : d´eterminer la nature de l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
0
sin(t) t dt.
2
Exercice 9
Soitf :R→Rcontinue telle que f(t)−−−−→
t→+∞ l etf(t)−−−−→
t→−∞ l0. 1. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
−∞(f(t+ 1)−f(t))dtconverge et la calculer.
2. Application : pourn∈N, calculerR+∞
−∞(arctan(x+n)−arctan(x)) dx.
Exercice 10 : un calcul de l’int´egrale de Gauss
1. Montrer que pour toutx∈R,ex≥1 +x. En d´eduire
∀t∈R, 1−t2 ≤e−t2 ≤ 1 1 +t2
2. Soitn∈N∗. Montrer que les int´egrales suivantes convergent : I =
Z +∞
0
e−t2dt , In= Z 1
0
(1−t2)ndt , Jn= Z +∞
0
dt (1 +t2)n puis ´etablir In≤ √I
n ≤Jn. 3. On pose Wn = Rπ/2
0 (cosx)ndx : v´erifier que la suite (Wn)n est mo- notone, et qu’on a les ´egalit´es In=W2n+1 etJn+1=W2n.
4. Trouver une relation de r´ecurrence entre Wn et Wn+2. En d´eduire que (n+ 1)WnWn+1 est ind´ependant den, et que n+1n+2 ≤ WWn+1
n ≤1.
5. Donner un ´equivalent de Wn et en d´eduire la valeur de R+∞
0 e−t2dt.
Exercice 11
1. Soitf :]0; +∞[→Cde classeC1, telle que l’int´egraleR+∞
1 f0(t)dtsoit absolument convergente. Pourn∈N∗, on pose
un=−f(n) + Z n+1
n
f(t)dt
(a) En appliquant la formule de Taylor-Laplace, montrer l’´egalit´e Rn+1
n f(t)dt=f(n) +Rn+1
n (n+ 1−t)f0(t)dt.
(b) Quelle est la nature de la s´erie P un? (c) En d´eduire que la s´erie P
f(n) est convergente si et seulement si la suite Rn
1 f(t)dt
n est convergente.
2. Soitf la fonction d´efinie par f(t) = ei
√ t
tα (α >1/2).
(a) V´erifier quef satisfait les hypoth`eses de la question 1.
(b) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
1 f(t)dt est convergente (on pourra commencer par ´etudierR+∞
1
eiu
u2α−1 du`a l’aide du crit`ere d’Abel).
(c) En d´eduire que la s´erie Pei
√n
nα est convergente.
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