Math´ematiques 3 Semaine du 28 septembre L2 CUPGE - automne 2020
Colle – Int´ egrales impropres, premiers exemples de s´ eries num´ eriques
— Equivalents : d´efinition, produit d’´equivalents, utilisation pour les calculs de limites, trouver un
´equivalent simple d’une fonction `a partir de son DL.
— R´evisions sur l’int´egration sur un segment : changement de variable, int´egration par parties et propri´et´es de base.
— D´efinition de l’int´egrale impropre sur un intervalle semi-ouvert, sur un intervalle ouvert.
— Cas des fonctions positives : si on a une borne uniforme sur les int´egrales sur les sous-segments, alors l’int´egrale impropre converge.
— Application : la convergence absolue implique la convergence.
— Utilisation des ´equivalents pour montrer la convergence d’int´egrales impropres.
— Int´egrales de Bertrand.
— S´eries num´eriques : d´efinition, convergence, divergence, divergence grossi`ere.
— Exemple de la s´erie harmonique (P
1/n), s´eries t´elescopiques, s´eries altern´ees.
— La convergence absolue n’a pas encore ´et´e vue, les exercices sur les s´eries doivent donc ˆetre basiques (pas d’utilisation d’´equivalents, pas de s´eries de Bertrand).
Questions de cours
— Prouver le th´eor`eme fondamental de l’int´egration.
— Discuter la convergence de l’int´egrale impropreR1e
0 1
xα|ln(x)|βdxo`uα, β ∈R. On pourra se conten- ter de la preuve dans un des cas.
— Discuter la convergence de l’int´egrale impropre R+∞
e
1
xαln(x)βdx o`u α, β ∈ R. On pourra se contenter de la preuve dans un des cas.
— Discuter la convergence de la s´erie g´eom´etriqueP
an, o`ua∈C.
— Caract´eriser la convergence des s´eries t´elescopiques P
(vn−vn+1) o`u (vn)n∈N est une suite `a valeurs dansC.
— Montrer que la s´erie harmoniqueP 1
n diverge.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
