MVA101 Analyse et Calcul Matriciel 2015-2016
CONTR ˆOLE du 10 F´evrier 2016 Dur´ee : 3h
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Il est demand´e de bien justifier ses r´eponses. Les exercices suivants sont ind´ependants. V´erifiez que vous disposez bien de la totalit´e des pages du sujet (2) en d´ebut d’´epreuve et signalez tout probl`eme de reprographie le cas ´ech´eant.
Exercice 1 : S´eries num´eriques.
D´eterminer la nature des s´eries num´eriques suivantes : i)
+∞
X
n=1
(−1)n 1−4n2 ii)
+∞
X
n=1
1 ne−n
iii)
+∞
X
n=1
cos
π 1
2− 1 n
Exercice 2 : S´eries enti`eres.
D´eterminer le rayon de convergence R des s´erie enti`eres suivantes et, le cas ´ech´eant, ´etudier la convergence de la s´erie pour x=R etx=−R :
i)
+∞
X
n=0
xn 1 +n2 ii)
+∞
X
n=0
sin(n)xn
Exercice 3 : S´erie de Fourier.
On consid`ere la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par :
f(x) =x2−π2, pour x∈]−π, π].
1. D´eterminer la s´erie de Fourier trigonom´etriquesS(f) de f; 2. ´Etudier la convergence de cette s´erie (simple et uniforme) ; 3. Calculer la valeur des s´eries num´eriques :
+∞
X
n=1
1 n2 et
+∞
X
n=1
(−1)n 1 n2
Exercice 4 : Transform´ee de Fourier Trouver la transform´ee de Fourier de la fonction
x2e−a|x|,
sachant que
dp
dupF(f)(u) = (−i)pF(xpf(x))(u), pour toutp∈N.
Exercice 5 : Transform´ee de Laplace et Alg`ebre lin´eaire (les 4 questions suivantes sont ind´ependantes)
1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant en fonction du param`etre p∈R ((3−p)X−5Y = 1
X−(3 +p)Y = 2 2. Trouver la fonction ayant pour transform´ee de Laplace :
p7→ 7−p p2−4. 3. Trouver la fonction ayant pour transform´ee de Laplace :
p7→ 5−2p p2−4.
4. On consid`ere deux fonctionsx(t) et y(t) d´erivables sur [0,∞[, v´erifiant pour toutt≥0 (x(t)˙ = 3x(t)−5y(t),
˙
y(t) =x(t)−3y(t), et telles que
(x(0) =−1, y(0) =−2.
On note parX etY les transform´ees de Laplace dex(t) ety(t) respectivement. D´eterminer le syst`eme d’´equations lin´eaires v´erifi´ees par X etY, d´eterminer X etY et en d´eduirex et y.
