Universit´ e de Cergy-Pontoise Janvier 2009
L2-I&P Math´ ematiques pour les Sciences
Premi`ere session - Dur´ee 3 heures, documents et calculatrices interdits
Premier Exercice - Fonctions de plusieurs variables - 5 points
Soitf la fonction d´efinie surR2 par :
f(x, y) =x2y+ ln(1 +y2) 1. D´eterminer le point critique def surR2.
2. Calculer les d´eriv´ees partielles secondes def. Pourquoi ne peut-on d´eterminer la nature du point critique de f `a l’aide des ces d´eriv´ees ?
3. Soitφla fonction d´efinie par
φ(x) =f(x, x)
D´eterminer un ´equivalent deφ(x) au voisinage de z´ero, et en d´eduire quef(x, y) prend des valeurs positives au voisinage de 0.
4. Soitψla fonction d´efinie par :
ψ(x) =f(x,−x3)
D´eterminer un ´equivalent deψ(x) au voisinage de 0 et en d´eduire quef prend des valeurs n´egatives au voisinage de z´ero.
5. Conclure sur la nature du point critique def.
Deuxi` eme Exercice - Int´ egrales impropres- 5 points
Soitaun r´eel. On consid`ere l’int´egrale Ia=
Z +∞
0
dx (1 +x2)(1 +xa)
1. D´eterminer pour quelles valeurs deacette int´egrale est convergente.
2. CalculerI0 etI1.
3. Faire le changement de variable u= 1x dans l’int´egraleIa, et en d´eduire la valeur deIa dans le cas g´en´eral.
Troisi` eme Exercice - S´ eries num´ eriques - 5 points
1. D´eterminer la nature (convergente ou divergente) des s´eries suivantes : (a) X2n
n!
(b) X (−1)n
√n+ 1 (c) P(1 +√
n)−n 2. Soitwn = n
n4+n2+ 1. (a) Justifier que la s´erieP
wn est convergente.
(b) D´ecomposer en ´el´ements simples surRla fraction X X4+X2+ 1 On v´erifiera d’abord que
X4+X2+ 1 = (X2−X+ 1)(X2+X+ 1) (c) En d´eduire qu’il existe une suite (un) telle que
wn=un+1−un
pour toutn.
(d) Calculer
+∞
X
n=0
wn
Quatri` eme Exercice - S´ eries enti` eres - 5 points
SoitS(x) la s´erie enti`ere d´efinie par :
S(x) =
+∞
X
n=0
n3xn
1. D´eterminer le rayonR de convergence de cette s´erie.
2. Rappeler le th´eor`eme de d´erivation des s´eries enti´eres et calculer les d´eriv´ees d’ordre 1, 2 et 3 de la s´erie deP
xn.
3. Trouver des constantes r´eellesa,b etc telles que
n3=an(n−1)(n−2) +bn(n−1) +cn pour toutn
4. En d´eduire l’expression de la fonctionS(x) en fonction dex.
