Universit´e de Cergy-Pontoise D´ecembre 2011
Structures alg´ ebriques
Licence de Math´ ematiques, troisi` eme ann´ ee Dur´ ee 3 heures, documents et calculatrice interdits
Premier exercice 4 points
On consid`ere le groupe S8 des permutations des entiers de 1 `a n. Soit σ la permutation donn´ee par
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 1 2
1. Donner la d´ecomposition en cycles deσ. Quelle est sa signature ? 2. On cherche des permutations τ de S8 telles que
τ ◦τ =σ (1)
Montrer qu’il existe une solution telle queτ(1) = 2 : en utilisant la formule (1), on d´eter- mineraτ(2), puis les images de tous les entiers jusqu’`a 8.
3. Montrer qu’il n’existe pas de permutationτ telle que τ◦τ =σ et cette fois τ(1) = 5.
Second Exercice - 6 points
On rappelle que F3 =Z/3Z. Soit P =X2+ 1 polynˆome deF3[X].
1. Montrer queP est irr´eductible sur le corpsF3. 2. Soit Al’anneau d´efini par
A=F3[X]/(P)
o`u (P) d´esigne l’id´eal principal des multiples de P. Rappeler pourquoi A est un corps et donner le nombre de ses ´el´ements.
3. On noteGle groupe multiplicatif form´e par les ´el´ements inversibles deAetα la classe de X dans le quotientA. D´eterminer l’ordre deα dansG.
4. Soitβ=α+ 1. D´eterminer l’ordre deβ dansGet en d´eduire queGest un groupe cyclique.
Troisi` eme Exercice - 6 points
On note B l’ensemble
B={z∈R| ∃(a, b)∈Z2, z =a+b√ 2}
Cet ensemble est ´egalement not´e Z[√ 2].
1. V´erifier que B est un sous-anneau de R. 2. Pour z = a+b√
2 ∈ B, on pose N(z) = a2 −2b2. Montrer que N est un morphisme multiplicatif de B dansZ. Montrer ´egalement que N(z) = 0 ⇐⇒ z= 0.
3. Montrer quez∈B est un ´el´ement inversible de B si et seulement siN(z) = 1 ou N(z) =
−1. Indication : pour une des implications, on pourra observer que N(z) = (a+b√ 2)(a− b√
2).
4. V´erifier queω= 1 +√
2 est un ´el´ement inversible deB et donner son inverse. En utilisant les pusissance de ω, montrer que l’ensemble des inversibles deB est infini.
5. Soit I = (√
2) l’id´eal principal deB engendr´e par √
2. Montrer que I contient 2 et tous les ´el´ements de la forme b√
2 o`u b∈Z. Montrer queI est distinct deB, puis que c’est un id´eal maximal.
Quatri` eme Exercice - 4 points
1. Soit A un anneau commutatif quelconque. On note N(A) l’ensemble des ´el´ements non inversibles de A. Montrer que
∀x∈ N(A), ∀a∈A, ax∈ N(A)
2. Montrer que si A=Z/8Z, N(A) est un id´eal de A, mais que si A=Z/15Z, ce n’est plus le cas.
3. Montrer que tout id´eal strict deA(c’est-`a-dire distinct deA) est inclus dans N(A).
4. On dit que A est un anneau local si N(A) est un id´eal. Montrer que tout anneau local admet un seul id´eal maximal. V´erifier que c’est bien le cas pour l’anneau A=Z/8Z.
