Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2010–2011

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Courbes et Surfaces & Calcul formel Documents et calculatrice autoris´ es.

3h le mercredi 18 mai 2011

Les r´ eponses aux deux parties seront r´ edig´ es sur des copies diff´ erentes.

Toutes les r´ eponses devront ˆ etre justifi´ ees.

I. Courbes et surfaces

Exercice 1. Trouver le polynˆ ome f : R → R de degr´ e 2 qui v´ erifie f(0) = 3, f(1) = 2 et f(3) = −12.

Exercice 2. Calculer la spline cubique naturelle (q, p) : [0, 2] → R

qui passe par les points (x

, y

) = (0, 1), (x

, y

) = (1, 3) et (x

, y

) = (4, 2).

Exercice 3. Ecrire la courbe polynomiale ´ γ : [0, 1] → R

,

γ (t) = 8t − 4t

− 2t

, 1 − 16t + 42t

− 28t

+ 5t

,

comme courbe de B´ ezier (c’est-` a-dire, identifier les points de contrˆ ole p = (p

, . . . , p

)) et dessiner sa trace. Dessiner aussi les ´ etapes de l’algorithme de De Casteljau afin de d´ eterminer γ

(3/4).

Exercice 4. Soit p

= (−2, 0), p

= (−1, 1), p

= (0, 3) et p

= (2, 1). Soit γ

: [0, 1] → R

la courbe de B´ ezier associ´ ee.

(a) Dessiner γ

.

(b) On veut prolonger γ

par une courbe de B´ ezier γ

qui finit en q

= (0, −2) telle que la courbe compos´ ee de γ

et γ

soit de classe C

. D´ eterminer les points de contrˆ ole q

, q

et q

. Dessiner γ

dans le mˆ eme plan cartesien que γ

.

II. Calcul Formel

Exercice 5. [Chiffrement RSA] On pose p = 3 et q = 7 et e = 5 (a) Calculer n = p · q puis φ(n).

(b) Chercher d tel qu’on ait ed ≡ 1 mod φ(n).

(c) Quels param` etres constituent la cl´ e publique ? Et la cl´ e priv´ e e?

(d) Posons M = 3. Quel est le chiffr´ e C de M.

(e) Retrouver M ` a partir de C et de la cl´ e priv´ ee.

T.S.V.P Exercice 6. [Polynˆ ome] Notons E l’ensemble des polynˆ omes ` a coefficents sur Z de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 9. On se propose de repr´ esenter un polynˆ ome de E par :

struct{

int coeffs[10];

}Poly;

Le polynˆ ome 3x

+ x

− 1 aura alors le tableau [-1,0,2,0,0,0,0,0,3,0] comme coeffs.

(a) Ecrire une fonction int degre(Poly P) qui retourne le degr´ e du polynome P.

(b) Ecrire une fonction int eval(Poly P,int x) qui retourne le polynˆ ome P ´ evalu´ e en x.

(c) Ecrire une fonction void racines(Poly P,int n) qui affiche toutes les racines enti` eres de P comprises entre -n et n.

(d) Ecrire une fonction Poly deriv(Poly P) qui retourne le polynˆ ome d´ eriv´ e de P.

(e) Un polynˆ ome P a une racine multiple si le pgcd de P et P

est de degr´ e au moins 1. On suppose que l’on a la fonction Poly pgcd(Poly P,Poly Q) retournant le pgcd de P et Q.

Ecrire une fonction int aUneRacineMultiple(Poly P) retournant 1 si P a une racine multiple et 0 sinon.

Exercice 7. [Code correcteur] Soit φ le code correcteur de type (3.5) d´ efini par :

φ



 b

b

b



 =













b

b

b

b

+ b

b

+ b

+ b













(a) Le code φ est-il lin´ eaire ? Syst´ ematique ? (b) Quelle est la matrice g´ en´ eratice de φ ?

(c) Quelle est la matrice de contrˆ ole de φ ?

(d) Combien d’erreurs φ peut-il d´ etecter ? Et corriger ?