4 Partie 4
4.1 Vecteur Q.4.1
Dessiner les vecteurs suivant.
a) ~v= 2∠180◦ b) ~v = 7∠90◦ c) ~v= 4∠30◦ Q.4.2
Dessiner les somme de vecteurs suivant.
a) 1∠0◦+ 1∠90◦ b) 2∠0◦+ 3∠270◦
c) 3∠180◦+ 2∠90◦ d) 2∠30◦+ 5∠60◦ Q.4.3
Ecrire les vecteur suivant sous la forme cart´´ esienne.
a) ~v= 2∠180◦ b) ~v= 7∠90◦
c) ~v = 4∠30◦ d) ~v = 6∠120◦
e) ~v= 8∠300◦ f) ~v= 2∠135◦ Q.4.4
Ecrire les vecteur suivant sous la forme polaire.´ a) ~v= (2,0)
b) ~v= (0,−9)
c) ~v = (6,−6) d) ~v = (3,4)
e) ~v= (1,3) f) ~v= (9,−1) Q.4.5
Soient les vecteurs suivants :
~v= (2,3), ~u= (−1,3), ~w= (3,−5) Evaluer les expressions suivantes´
a) 3~u b) −~v
c) ~u+~v d) ~u−~v+w~
e) 3~u−2~v f) −w~ +~u−5~v Q.4.6
Calculer la longueur des vecteurs suivant a) ~v= (4,0)
b) ~v= (2,3) c) ~v= (4,−5)
d) ~v= (6,−6,3) e) ~v= (−2,−5,3) f) ~v= (4,3,1)
Q.4.7
Trouver les vecteurs unitaires associ´e `a chacun des vecteurs suivants.
a) ~v= (4,0) b) ~v= (2,3)
c) ~v= (4,−5)
d) ~v= (6,−6,3) e) ~v= (−2,−5,3) f) ~v= (4,3,1) Q.4.8
Touver un vecteur ayant la mˆeme direction, le mˆeme sens que~v= (−3,5) mais de longueur 7.
Q.4.9
Calculer les produits scalaire suivants a) (1,2)·(3,−4)
b) (3,3)·(−2,4) c) (5,1)·(−1,5)
d) (1,2,3)·(3,1,1) e) (2,−1,5)·(3,5,7) f) (−2,0,−1)·(0,8,0) Q.4.10
Trouver l’angle entre les vecteurs suivants.
a) (1,2) et (3,−4) b) (3,3) et (−2,4) c) (5,1) et (−1,5)
d) (1,2,3) et (3,1,1) e) (2,−1,5) et (3,5,7) f) (−2,0,−1) et (0,8,0) Q.4.11
Trouver deux vecteurs perpendiculaires et de mˆeme longueurs que chacun des vecteurs suivants
a) (3,5) b) (−2,4)
c) (−9,−1) d) (−2,11)
4.2 Nombres complexes C Q.4.12
Pour chacun des nombres suivants, donner la partie r´eel, la partie imaginaire et le module.
a) 1 b) i c) 1 + 3i d) 6−i
1
Q.4.13
Effectuer les op´erations suivantes a) (4 +i) + (3−2i)
b) (i−4) + (5 + 2i) c) (9 + 2i)−(−4 + 5i)
d) (2 +i)(1−2i) e) 3i(2−5i) f) (5 + 9i)(5−9i) Q.4.14
Trouver le conjugu´e des nombres complexes suivants
a) 3 + 2i b) 8 c) −7i d) 7−3i
Q.4.15
Effectuer les divisions suivantes a) 3 + 2i
i b) 4
1−i
c) 4−5i 2 + 2i d) 1−i
1 +i Q.4.16
Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme´ polaire
a) 4 b) −5
c) 3i d) −2i
e) 1 +i f) √
3−i Q.4.17
Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme´ cart´esienne.
a) 3(cosπ+isinπ) b) 5
cosπ
2 +isinπ 2
c) 2 cosπ
6 +isinπ 6
d) 9
cos−3π
4 +isin−3π 4
Q.4.18
Effectuer les op´erations suivantes a) i7
b) (1 +i)10
c) (−4 + 4i)3 d) (1−√
3i)6
Q.4.19
Touver le nombre complexe associer `a chacune des fonctions suivantes quand x= 0.
a) f(x) = 3 sin(5x) b) f(x) = 2 sin
2x+ π
2
c) f(x) = 5 sin
x+4π 6
Q.4.20
Ecrire les fonctions suivantes en terme d’une seule´ fonction sinuso¨ıdale.
a) f(x) = sin(3x) + 2 sin
3x+π 3
b) f(x) = 3 sin(2x) + 4 sin 2x+π
4
2
R´ eponses aux exercices
R.4.1 Laiss´e `a l’´etudiant.
R.4.2 Laiss´e `a l’´etudiant.
R.4.3
a) (−2,0) b) (0,7)
c) 2√
3,2
d)
−3,3
√ 3
e) 4,−4√
3 f)
−√ 2,√
2 R.4.4
a) 2∠0◦ b) 9∠270◦
c)
√
72∠315◦
d) 5∠53,13◦ e)
√
10∠71,57◦ f)
√
82∠−6,34◦ R.4.5
a) (−3,9) b) (−2,−3)
c) (1,6) d) (0,−5)
e) (−7,3) f) (−14,−7) R.4.6
a) 4 b)
√ 13
c)
√ 41 d) 9
e)
√ 38 f)
√ 26 R.4.7
a) (1,0) b)
2
√13, 3
√13
c) 4
√41,− 5
√41
d) 6
9,−6 9,3
9
e)
− 2
√
38,− 5
√ 38, 3
√ 38
f) 4
√26, 3
√26, 1
√26
R.4.8
− 21
√ 34, 35
√ 34
R.4.9 a) −5 b) 6
c) 0 d) 8
e) 36 f) 0
R.4.10 a) arccos
− 5
√ 5√
25
≈117◦ b) arccos
6
√18√ 20
≈61◦ c) 90◦
d) arccos
8
√ 14√
11
≈50◦ e) arccos
32
√30√ 83
≈50◦ f) 90◦
R.4.11
a) (−5,3),(5,−3) b) (4,2),(−4,−2)
c) (1,−9),(−1,9) d) (11,2),(−11,−2) R.4.12
a) <(1) = 1,=(1) = 0 et |1|= 1 b) <(i) = 0,=(i) = 1 et|i|= 1
c) <(1 + 3i) = 1,=(1 + 3i) = 3 et |1 + 3i|=√ 10 d) <(6−i) = 6,=(6−i) =−1 et |6−i|=√
37 R.4.13
a) 7−i b) 1 + 3i
c) 13−3i
d) 4−3i e) 15 + 6i f) 106 R.4.14
a) 3−2i b) 8 c) 7i d) 7 + 3i
R.4.15 a) 2−3i b) 2 + 2i
c) −1 4 −9
4i d) −i R.4.16
a) 4 cis 0 b) 5 cis π c) 3 cis π 2
d) 2 cis 3π 2 e)
√ 2 cis π
4 f) 2 cis −π
6 3
R.4.17
a) −3 b) 5i
c)
√ 3 +i d) −9√
2 2 −9√
2 2 i R.4.18
a) −i b) i c) 64 + 64i d) −64
R.4.19 a) 3
b) 2i c) −5
2 +5√ 3 2 R.4.20
a) √
7 sin 3x+ arctan
√3 2
!!
b) q
25 + 4
√ 2
sin 2x+ arctan 2√ 2 3 + 2√
2
!!
4
