Universit´e de Cergy-Pontoise Licence 2, cours MS4IP Ann´ee 2012/2013
Examen final (3h)
Notes de cours manuscrites interdites `a l’exception de deux feuilles recto verso.
Livres, photocopies, calculatrices ou appareils ´electroniques interdits. Veuillez num´eroter et indiquer votre num´ero d’´etudiant sur toutes les feuilles rendues.
Justifier toutes vos r´eponses
Exercice 1.Soient x, θ∈R. On d´efinit les matrices
A=
0 1 −sinθ
−1 0 cosθ
−sinθ cosθ 0
, Ax =I3+xA+ 1 2x2A2
1) Montrer queA3 = 0 (on pourra utiliser l’identit´e cos2θ+ sin2θ= 1) 2) Montrer
∀x, y∈R, AxAy =Ax+y
3) En d´eduire que pour tout x ∈ R, la matrice Ax est inversible et calculer explicitement son inverseA−1x
Exercice 2.
1) On consid`ere les vecteurs ε1 = (1,−1,1), ε2 = (2,1,−1), ε3 = (4,−1,1), ε4 = (−1,−2,2)∈R3. D´eterminer une base du sous-espace vectoriel
F = Vect(ε1, ε2, ε3, ε4)⊂R3
2) On consid`ere les matrices
A1 = 1 1
0 0
, A2 = 0 0
1 1
, A3 = 1 0
0 1
, A4 = 0 1
1 1
.
Est-ce que le syst`eme (A1, A2, A3, A4) forme une base de M2(R) ?
Exercice 3.Soit B= (e1, e2, e3) la base canonique deR3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1).
On consid`ere le syst`eme de vecteursB0 = (e01, e02, e03) d´efini par e01=e1−e3, e02 =−e1+e2+e3, e03 =e1+ 2e2+e3. 1) Montrer queB0 est une base deR3
2) Calculer les matrices de passage deB vers B0 et deB0 vers B
3) Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice relativement aux basesB et B0 est donn´ee par
MatBB0f =
−3 1 0
1 −1 −1
2 0 1
Calculer explicitement l’application lin´eairef
4) Calculer explicitement les matrices MatBBf, MatBB0f et MatBB00f
Exercice 4.On consid`ere la matrice
A=
1 1 2 2 1 1 0 1 3
∈M3(R)
1) Montrer que 0, 1, 4 sont valeurs propres de la matriceA dansR 2) Justifier le fait que la matriceA soit diagonalisable dansR
3) D´eterminer explicitement P une matrice inversible de M3(R) telle que la matrice P−1AP soit diagonale. Calculer explicitement la matrice diagonale P−1AP
Exercice 5.Etudier la diagonalisabilit´´ e surRde la matrice
A=
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
.
En cas de diagonalisabilit´e, diagonaliser explicitement cette matrice (on pourra remarquer que 4 est valeur propre de la matrice A).
Exercice 6.
1) Rappeler la d´efinition d’un produit scalaire sur unR-espace vectoriel E 2) D´eterminer si les applications suivantes d´efinissent une structure de produit scalaire sur le R-espace vectoriel R3 :
(i) hx, yi=h(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)i=x1y1+ 3y22+ 2x3y3
(ii) hx, yi=h(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)i=x1y1+x2y2+x2y3+x3y2+ 4x3y3 o`ux= (x1, x2, x3)∈R3, y= (y1, y2, y3)∈R3
