Feuille-r´ eponses du TD 2 Dynamique de Markov et ´ equilibre

(1)

Universit´ e de Nice L2MASS, Option MPAD2, ann´ ee 2010-2011 D´ epartement de Math´ ematiques Mod` eles Probabilistes Appliqu´ es au D´ eveloppement Durable

NOM : Date : .

PRENOM : Groupe : .

Feuille-r´ eponses du TD 2 Dynamique de Markov et ´ equilibre

On r´ epondra aux questions pos´ ees aussi clairement que possible dans les espaces pr´ evus et on remettra cette feuille-r´ eponses en fin de s´ eance ` a l’enseignant charg´ e du Cours/TD.

Exercice 1. :

1. Soit une chaine de Markov ` a 2 ´ etats de matrice de transition P telle que p

11

= 0, 9 et p

21

= 0, 2.

Calculer l’image π

1

par la chaine de Markov de la distribution initiale π

0

= (1 ; 0).

2. Calculer le nombre α tel que π

₀^∗

= (α (1 − α)) soit une distribution stationnaire.

3. En d´ eduire que λ = 1 est une valeur propre ` a gauche de la matrice P ; expliquez.

4. Calculer le carr´ e P

²

, puis les deux produits π

₀

P

²

et π

₁

P. Que constatez-vous ? Expliquez.

1

(2)

Exercice 2. :

1. Soit la matrice P =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



. Calculer P

²

et P

³

. En d´ eduire les valeurs de P

⁴

, P

⁵

, ....

2. Est-il possible que l’une des puissance de P, P

^k

pour k ≥ 1, soit une matrice dont tous les coefficients sont strictement positifs (appel´ ee matrice primitive) ?

3. Pour π

₀

= (α ; β ; γ), calculer les images successives π

₁

= π

₀

P, π

₂

= π

₁

Feuille-r´ eponses du TD 2 Dynamique de Markov et ´ equilibre

Universit´ e de Nice L2MASS, Option MPAD2, ann´ ee 2010-2011 D´ epartement de Math´ ematiques Mod` eles Probabilistes Appliqu´ es au D´ eveloppement Durable

NOM : Date : .

PRENOM : Groupe : .

Feuille-r´ eponses du TD 2 Dynamique de Markov et ´ equilibre

On r´ epondra aux questions pos´ ees aussi clairement que possible dans les espaces pr´ evus et on remettra cette feuille-r´ eponses en fin de s´ eance ` a l’enseignant charg´ e du Cours/TD.

Exercice 1. :

1. Soit une chaine de Markov ` a 2 ´ etats de matrice de transition P telle que p

= 0, 9 et p

= 0, 2.

Calculer l’image π

par la chaine de Markov de la distribution initiale π

= (1 ; 0).

2. Calculer le nombre α tel que π

= (α (1 − α)) soit une distribution stationnaire.

3. En d´ eduire que λ = 1 est une valeur propre ` a gauche de la matrice P ; expliquez.

4. Calculer le carr´ e P

, puis les deux produits π

P

et π

P. Que constatez-vous ? Expliquez.

1

Exercice 2. :

1. Soit la matrice P =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



. Calculer P

et P

. En d´ eduire les valeurs de P

, P

, ....

2. Est-il possible que l’une des puissance de P, P

pour k ≥ 1, soit une matrice dont tous les coefficients sont strictement positifs (appel´ ee matrice primitive) ?

3. Pour π

= (α ; β ; γ), calculer les images successives π

= π

P, π

= π

P, ...Qu’observez-vous ?

4. Trouver un vecteur propre ` a gauche de P de valeur propre λ = 1.

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