Feuille-r´ eponses du TD 3 Mod` eles pour le micro-cr´ edit

Universit´ e de Nice L2MASS, Option MPAD2, ann´ ee 2010-2011 D´ epartement de Math´ ematiques Mod` eles Probabilistes Appliqu´ es au D´ eveloppement Durable

NOM : Date : .

PRENOM : Groupe : .

Feuille-r´ eponses du TD 3 Mod` eles pour le micro-cr´ edit

On r´ epondra aux questions pos´ ees aussi clairement que possible dans les espaces pr´ evus et on remettra cette feuille-r´ eponses en fin de s´ eance ` a l’enseignant charg´ e du Cours/TD.

Exercice 1. : Taux pratiqu´ e pour le micro-cr´ edit : exemple de Muhammad Yunus (Prix Nobel de la Paix 2006) : La banque Grameen prˆ ete aux plus d´ emunis dans les conditions suivantes : pour un prˆ et de 1000 Bengladesh Taka (BDT) l’emprunteur rembourse chaque semaine durant 50 semaines la somme de 22 BDT.

1. Quelle est la somme totale rembours´ ee ? Que dire, ` a votre avis, du taux d’int´ erˆ et pratiqu´ e ?

2. On note r le “taux d’int´ erˆ et continu annuel” pratiqu´ e, c’est ` a dire que pour 1 emprunt´ e il faut rembourser e

apr` es un temps T exprim´ e en ann´ ee, et donc e

apr` es k semaines. On pose q = e

. Montrer que la somme rembours´ ee en semaine k rembourse x

:= 22q

BDT de la somme totale (1000 BDT) ` a rembourser.

3. Monter que si les remboursements commencent apr` es une semaine alors 1000 = 22 P

q

4. Montrer que

P (q) := 22q

− 1022q + 1000 = 0 (1)

1

5. Comment peut on r´ esoudre l’´ equation (1) ?

6. On trouve

q = 0, 996 210 7... Quel est le taux r pratiqu´ e par la banque Grameen ?

7. A ce taux, combien faudrait-il payer apr` es un an (en une seule fois) pour 100 BDT ?

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Voici la mani` ere de trouver toutes les solutions, r´ eelles on complexes, sous Scilab : q=poly(O,"q") ; //q devient l’ind´ etermin´ ee q, le polynome ` a une seul racine, 0.

[sols]=roots(22*q^51-1022*q+1000)

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