TD 5 – Plus de mod` eles int´ erieurs

Th´eorie des ensembles TD 5 M2 LMFI - automne 2018

TD 5 – Plus de mod` eles int´ erieurs

Exercice 1. Le retour de l’appartenance tordue.

(1) En utilisant les notions de formules born´ees vues en cours, donner une preuve compl`ete du fait queV_ω satisfait les axiomes de ZF, sauf l’axiome de l’infini.

(2) On fixe une bijectionσ entreP_f(ω) (l’ensemble des parties finies deω) etω, et on d´efinit une relation ∈_σ sur ω par x ∈_σ y si x ∈ σ⁻¹(y). Montrer que (V_ω,∈) se plonge dans (ω,∈_σ) de mani`ere unique.

(3) Montrer que si σ satisfait que x ∈ σ⁻¹(y) implique x < y, alors le plongement est un isomorphisme.

(4) Donner un exemple de telσ.

Exercice 2. Ensembles dont la cloture transitive est petite.

On se place dans un mod`ele U de ZFC+AF. Six est un ensemble on note par ct(x) la clˆoture transitive dex. On d´efinit pour un cardinal κ,

H(κ) ={x:|ct(x)|< κ}.

(1) Montrer queH(κ)⊆V_κ pour tout κ r´egulier et conclure que H(κ) est un ensemble.

(2) Soit κ r´egulier. Montrer que H(κ) = Vκ ssi κ est fortement limite.

(3) Montrer les propri´et´es suivantes de H(κ) :

— H(κ) est transitif ;

— H(κ)∩ On =κ;

— x∈H(κ), alors S

x∈H(κ) ;

— six∈H(κ) et y⊆x, alors y∈H(κ) ;

— siκ est r´egulier, alors

∀x x∈H(κ) ⇐⇒ x⊆H(κ)∧ |x|< κ.

(4) Montrer que siκ est r´egulier et non d´enombrable, alors H(κ)|= ZFC−P. En conclure que l’axiome des parties n’est pas une cons´equence des autres axiomes de ZFC.

Exercice 3. Mod`eles de Frænkel–Mostowski On se place dans un mod`ele U de ZF.

(1) Soit F: U → U une classe fonctionnelle qui est une bijection de U. On note par x∈⁰ y la formulex∈F(y). Montrer que (U,∈⁰) est un mod`ele de ZF.

(2) Montrer que si (U,∈) satisfait l’axiome du choix alors (U,∈⁰) le satisfait aussi.

(3) Un atome est un ensemble a tel que a = {a}. Montrer qu’on peut choisir F pour que (U,∈⁰) ait un atome.

(4) En d´eduire que si ZF / ZFC est coh´erente, alors (ZF +¬AF) / (ZFC +¬AF) l’est aussi.

(5) Montrer qu’on peut choisirF pour que, dans (U,∈⁰), l’ensemble des atomes soit d´enom- brable infini.

Exercice 4. Mod`eles de Frænkel–Mostowski, suite

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Th´eorie des ensembles TD 5 M2 LMFI - automne 2018 On travaille dans un mod`ele U de ZF ayant un ensemble A non vide d’atomes. On d´efinit par induction transfinie :

W₀ =A W_α+1 =P(W_α) Wλ = [

α<λ

Wα si λ limite.

(1) Soit W la classeW =S

αWα. Montrer que (W,∈^W)|= ZF−AF.

(2) Montrer queW satisfait

∀a a6=∅ ⇒ ∃b ∈a (b={b} ∨a∩b =∅).

En d´eduire qu’un ´el´ementadeW est un atome (au sens deW) si et seulement sia∈W₀. (3) Montrer queU |=W =W^W.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques