Mod`ele statistique
TD5-MAPI3 2016-2017
Exercice 1
Pour les mod` eles statistiques suivants, dire s’ils sont ou non param´ etriques. On note µ
fla loi de probabilit´ e ayant pour densit´ e f .
1. P = {µ
f; f (0) = 1}.
2. P = {E (θ) ; θ > 0}
3. P = {µ
f; ∀x ∈ R , f (−x) = f (x)}
4. P = {µ
f; ∃θ ∈ R , ∀x ∈ R , f(θ − x) = f (θ + x)}
5. P = {µ
f; ∀x ∈ R , f
0(x) > 0}
6. P = {µ = αN (m
1, σ
12) + βN (m
2, σ
22); α ≥ 0, β ≥ 0, m
i∈ R , σ
i2> 0}
Exercice 2
Soit X
1, ...X
n, n r´ ealisations i.i.d. d’une variable al´ eatoire X telle que E (X ) = m et Var(X) = σ
2. Soit X
n=
1nP
ni=1
X
ila moyenne empirique et S
n2=
n1P
ni=1
(X
i− X
n)
2la variance empirique. Ces deux quantit´ es sont-elles des estimateurs de m et σ
2respectivement ? Si oui, calculer leur biais.
Exercice 3
On jette une pi` ece. Elle fait pile avec probabilit´ e θ et face avec probabilit´ e 1 − θ. Soit X la variable al´ eatoire qui vaut 1 si la pi` ece fait pile, 0 sinon.
1. Quelle est la loi de X ? Quel est le mod` ele statistique associ´ e ?
2. Soient δ(X) = X et δ
0(X ) = 1 − X deux variables al´ eatoires. Sont-elles des estimateurs de θ ? Sont-elles ind´ ependantes (sous P
θ, en fonction de θ ∈ Θ)?
3. Calculer le biais et l’erreur quadratique moyenne de δ et δ
0.
Exercice 4
On observe n voitures identiques se d´ epla¸ cant ` a la mˆ eme vitesse constante sur un circuit. Chacune de ces voitures dispose au d´ epart d’une quantit´ e d’essence inconnue (et possiblement diff´ erente d’une voiture ` a l’autre). On note X
ila distance parcourue par la voiture i jusqu’` a la panne d’essence.
Soit θ la distance maximale que peut parcourir une voiture.
1. Donner le mod` ele statistique correspondant ` a l’observation du n ´ echantillon X = (X
1, ...X
n). Ce mod` ele est-il param´ etrique ?
2. Donner la vraisemblance du mod` ele (Rq : les observations sont des distances donc X est ` a valeurs dans R
+).
3. On propose comme estimateur de θ la statistique ˆ g(X) =
1nP
ni=1