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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Mod`ele statistique

TD5-MAPI3 2016-2017

Exercice 1

Pour les mod` eles statistiques suivants, dire s’ils sont ou non param´ etriques. On note µ

f

la loi de probabilit´ e ayant pour densit´ e f .

1. P = {µ

f

; f (0) = 1}.

2. P = {E (θ) ; θ > 0}

3. P = {µ

f

; ∀x ∈ R , f (−x) = f (x)}

4. P = {µ

f

; ∃θ ∈ R , ∀x ∈ R , f(θ − x) = f (θ + x)}

5. P = {µ

f

; ∀x ∈ R , f

0

(x) > 0}

6. P = {µ = αN (m

1

, σ

12

) + βN (m

2

, σ

22

); α ≥ 0, β ≥ 0, m

i

∈ R , σ

i2

> 0}

Exercice 2

Soit X

1

, ...X

n

, n r´ ealisations i.i.d. d’une variable al´ eatoire X telle que E (X ) = m et Var(X) = σ

2

. Soit X

n

=

1n

P

n

i=1

X

i

la moyenne empirique et S

n2

=

n1

P

n

i=1

(X

i

− X

n

)

2

la variance empirique. Ces deux quantit´ es sont-elles des estimateurs de m et σ

2

respectivement ? Si oui, calculer leur biais.

Exercice 3

On jette une pi` ece. Elle fait pile avec probabilit´ e θ et face avec probabilit´ e 1 − θ. Soit X la variable al´ eatoire qui vaut 1 si la pi` ece fait pile, 0 sinon.

1. Quelle est la loi de X ? Quel est le mod` ele statistique associ´ e ?

2. Soient δ(X) = X et δ

0

(X ) = 1 − X deux variables al´ eatoires. Sont-elles des estimateurs de θ ? Sont-elles ind´ ependantes (sous P

θ

, en fonction de θ ∈ Θ)?

3. Calculer le biais et l’erreur quadratique moyenne de δ et δ

0

.

Exercice 4

On observe n voitures identiques se d´ epla¸ cant ` a la mˆ eme vitesse constante sur un circuit. Chacune de ces voitures dispose au d´ epart d’une quantit´ e d’essence inconnue (et possiblement diff´ erente d’une voiture ` a l’autre). On note X

i

la distance parcourue par la voiture i jusqu’` a la panne d’essence.

Soit θ la distance maximale que peut parcourir une voiture.

1. Donner le mod` ele statistique correspondant ` a l’observation du n ´ echantillon X = (X

1

, ...X

n

). Ce mod` ele est-il param´ etrique ?

2. Donner la vraisemblance du mod` ele (Rq : les observations sont des distances donc X est ` a valeurs dans R

+

).

3. On propose comme estimateur de θ la statistique ˆ g(X) =

1n

P

n

i=1

X

i

. Calculer son biais et son erreur quadratique moyenne.

4. Proposer un autre estimateur de θ (indication : chercher l’estimateur du maximum de vraisemblance).

Est-il sans biais ?

1

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