Symétrie d\'une courbe

a-h a+h f(a-h)=f(a+h)

(D)

x=a

a-h a+h

f(a-h) f(a+h)

a I b

Axe de symétrie, centre de symétrie.

Soit C

f

la courbe représentative, dans un repère orthogonal (O ; i

^→

; j

^→

), d’une fonction f définie sur D

f

.

1

^ière

méthode : (il suffit de se souvenir du dessin approprié pour retrouver la méthode …)

→ la droite (D) d’équation x = a est axe de symétrie de C

f

si et seulement si : pour tout nombre h tel que a+h et a−−−−h soient dans Df, f(a+h) = f(a−−−−h)

→ Le point I(a ; b) est centre de symétrie de C

f

si et seulement si :

pour tout nombre h tel que a+h et a−−−−h soient dans Df, f(a+h) + f(a-h)

2 = f(a) (b sur la figure)

2

^ième

méthode : (il faut savoir faire un changement de repère …)

→ la droite (D) d’équation x = a est axe de symétrie de C

f

si et seulement si : dans le repère (A ; i

^→

; j

^→

) avec A(a ; 0), C

f

représente une fonction g paire.

→ Le point I(a ; b) est centre de symétrie de C

f

si et seulement si : dans le repère (I ; i

^→

; j

^→

), C

f

représente une fonction g impaire.

exemple : Montrer que I(2 ;1) est centre de symétrie de C_f représentant f, définie sur IR\{2} par f(x) = x²- 3x + 1 x - 2 avec la méthode 1 :

I(2 ; 1) est centre de symétrie de C_f ⇔ ∀ h ∈ IR, tel que (a+h) ∈ Df et (a−h) ∈ Df, f(2+h) + f(2-h)

2 = 1

1 pour tout nombre h ≠ 0, 2−h et 2+h sont dans l’ensemble de définition de f 2 f(2+h) = (2+h)²- 3(2+h) + 1

(2+h) - 2 = h²+ h - 1

h = h + 1 − 1 h

en remplaçant h par −h dans f(2+h) on obtient f(2−h) = −h + 1 + 1

h et alors f(2+h) + f(2-h)

2 = 1

avec la méthode 2 :

I(2 ; 1) est centre de symétrie de C_f ⇔ dans (I ; i^→ ; j^→), C_f représente une fonction g impaire.

1 changement de repère : un point M ayant pour coordonnées (x ; y) dans (O ; i^→ ; j^→) et (X ; Y) dans (I ; i^→ ; j^→) OM^→ = OI^→ + IM^→ donc

x = X + 2

y = Y + 1 (ce sont les « formules de changement de repère ») 2 C_f ayant pour équation y = f(x) dans (O ; i^→ ; j^→), son équation dans (I ; i^→ ; j^→) est Y + 1 = f(X + 2)

or Y + 1 = f(X + 2) ⇔ Y + 1 = (X+2)²- 3(X+2) + 1

(X+2) - 2 ⇔ Y + 1 = X²+ X - 1

X ⇔ Y = X²- 1 X donc, dans (I ; i^→ ; j^→) C_f représente la fonction g définie sur IR*, par g(X) = X²- 1

X

3 parité de g : ∀ X ∈ IR*, −X ∈ IR* et g(−X) = (-X)²- 1

-X = −X²- 1

X = − g(X) donc g est impaire. cqfd …