a-h a+h f(a-h)=f(a+h)
(D)
x=a
a-h a+h
f(a-h) f(a+h)
a I b
Axe de symétrie, centre de symétrie.
Soit C
fla courbe représentative, dans un repère orthogonal (O ; i
→; j
→), d’une fonction f définie sur D
f.
1
ièreméthode : (il suffit de se souvenir du dessin approprié pour retrouver la méthode …)
→ la droite (D) d’équation x = a est axe de symétrie de C
fsi et seulement si : pour tout nombre h tel que a+h et a−−−−h soient dans Df, f(a+h) = f(a−−−−h)
→ Le point I(a ; b) est centre de symétrie de C
fsi et seulement si :
pour tout nombre h tel que a+h et a−−−−h soient dans Df, f(a+h) + f(a-h)
2 = f(a) (b sur la figure)
2
ièmeméthode : (il faut savoir faire un changement de repère …)
→ la droite (D) d’équation x = a est axe de symétrie de C
fsi et seulement si : dans le repère (A ; i
→; j
→) avec A(a ; 0), C
freprésente une fonction g paire.
→ Le point I(a ; b) est centre de symétrie de C
fsi et seulement si : dans le repère (I ; i
→; j
→), C
freprésente une fonction g impaire.
exemple : Montrer que I(2 ;1) est centre de symétrie de Cf représentant f, définie sur IR\{2} par f(x) = x²- 3x + 1 x - 2 avec la méthode 1 :
I(2 ; 1) est centre de symétrie de Cf ⇔ ∀ h ∈ IR, tel que (a+h) ∈ Df et (a−h) ∈ Df, f(2+h) + f(2-h)
2 = 1
1 pour tout nombre h ≠ 0, 2−h et 2+h sont dans l’ensemble de définition de f 2 f(2+h) = (2+h)²- 3(2+h) + 1
(2+h) - 2 = h²+ h - 1
h = h + 1 − 1 h
en remplaçant h par −h dans f(2+h) on obtient f(2−h) = −h + 1 + 1
h et alors f(2+h) + f(2-h)
2 = 1
avec la méthode 2 :
I(2 ; 1) est centre de symétrie de Cf ⇔ dans (I ; i→ ; j→), Cf représente une fonction g impaire.
1 changement de repère : un point M ayant pour coordonnées (x ; y) dans (O ; i→ ; j→) et (X ; Y) dans (I ; i→ ; j→) OM→ = OI→ + IM→ donc
x = X + 2
y = Y + 1 (ce sont les « formules de changement de repère ») 2 Cf ayant pour équation y = f(x) dans (O ; i→ ; j→), son équation dans (I ; i→ ; j→) est Y + 1 = f(X + 2)
or Y + 1 = f(X + 2) ⇔ Y + 1 = (X+2)²- 3(X+2) + 1
(X+2) - 2 ⇔ Y + 1 = X²+ X - 1
X ⇔ Y = X²- 1 X donc, dans (I ; i→ ; j→) Cf représente la fonction g définie sur IR*, par g(X) = X²- 1
X
3 parité de g : ∀ X ∈ IR*, −X ∈ IR* et g(−X) = (-X)²- 1
-X = −X²- 1
X = − g(X) donc g est impaire. cqfd …