LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison no18 – mathématiques
Correction Exercice 1
1. La proposition est vraie.
En effet, puisque µ=σ, P(X 6σ) =P(X 6µ) = 0,5et P(X > σ) =P(X > µ) = 0,5, par symétrie de la courbe de la fonction de densité autour de la droite d’équation x=µ.
2. La réciproque de P est : « Si P(X 6σ) = P(X > σ)alors µ=σ ».
Cette réciproque est vraie.
En effet, Si P(X 6 σ) = P(X > σ), comme on a aussi P(X > σ) = 1−P(X 6 σ), on en déduit que P(X 6σ) = 1−P(X 6σ), et donc que P(X 6σ) = 0,5.
Or la valeur de σ solution de cette équation est σ=µ.
Exercice 2
La fonction f est continue positive sur [−a;a] (c’est une exponentielle).
Pour que f soit une fonction de densité, il faut que Z a
−a
f(t)dt= 1. Or Z a
−a
f(t)dt= Z 0
−a
f(t)dt+ Z a
0
f(t)dt (Chasles)
= Z 0
−a
etdt+ Z a
0
e−tdt
= et0
−a+
−e−ta 0
= e0−e−a+ −e−a
− −e−0
= 2 e0−2 e−a
= 2−2 e−a On doit alors résoudre :
2−2 e−a= 1 ⇔e−a = 1 2
⇔ −a= ln(1
2) = −ln(2)
⇔a= ln 2
Ainsi, pour que f soit une fonction de densité, il faut que a= ln 2.
Exercice 3
On peut tout d’abord calculer In, 1
xlnx étant de la forme u0
u avecu(x) = lnx etu0(x) = 1 x : In= [ln(lnx)]22n+1n
= ln(ln 2n+1)−ln(ln 2n)
= ln((n+ 1) ln 2)−ln(nln 2)
= ln
(n+ 1) ln 2 nln 2
= ln
n+ 1 n
= ln
1 + 1 n
Or n7→ 1
n est décroissante, donc il en est de même pour n7→1 + 1 n. En appliquant la fonction ln croissante, on en déduit quen 7→ln
1 + 1
n
est décroissante.
Autrement dit, (In) est décroissante.
Sinon, on exprime :
In+1−In= ln
n+ 2 n+ 1
−ln
n+ 1 n
= ln
n+ 2
n+ 1 × n n+ 1
= ln
n(n+ 2) (n+ 1)2
= ln
n2+ 2n+ 1−1 (n+ 1)2
= ln
(n+ 1)2−1 (n+ 1)2
= ln
1− 1
(n+ 1)2
Or 1
(n+ 1)2 >0, donc 1− 1
(n+ 1)2 <1et ln
1− 1
(n+ 1)2
<0.
On en déduit que In+1−In<0, donc que la suite est décroissante.