• Aucun résultat trouvé

0,5, par symétrie de la courbe de la fonction de densité autour de la droite d’équation x=µ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "0,5, par symétrie de la courbe de la fonction de densité autour de la droite d’équation x=µ"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison no18 – mathématiques

Correction Exercice 1

1. La proposition est vraie.

En effet, puisque µ=σ, P(X 6σ) =P(X 6µ) = 0,5et P(X > σ) =P(X > µ) = 0,5, par symétrie de la courbe de la fonction de densité autour de la droite d’équation x=µ.

2. La réciproque de P est : « Si P(X 6σ) = P(X > σ)alors µ=σ ».

Cette réciproque est vraie.

En effet, Si P(X 6 σ) = P(X > σ), comme on a aussi P(X > σ) = 1−P(X 6 σ), on en déduit que P(X 6σ) = 1−P(X 6σ), et donc que P(X 6σ) = 0,5.

Or la valeur de σ solution de cette équation est σ=µ.

Exercice 2

La fonction f est continue positive sur [−a;a] (c’est une exponentielle).

Pour que f soit une fonction de densité, il faut que Z a

−a

f(t)dt= 1. Or Z a

−a

f(t)dt= Z 0

−a

f(t)dt+ Z a

0

f(t)dt (Chasles)

= Z 0

−a

etdt+ Z a

0

e−tdt

= et0

−a+

−e−ta 0

= e0−e−a+ −e−a

− −e−0

= 2 e0−2 e−a

= 2−2 e−a On doit alors résoudre :

2−2 e−a= 1 ⇔e−a = 1 2

⇔ −a= ln(1

2) = −ln(2)

⇔a= ln 2

Ainsi, pour que f soit une fonction de densité, il faut que a= ln 2.

Exercice 3

On peut tout d’abord calculer In, 1

xlnx étant de la forme u0

u avecu(x) = lnx etu0(x) = 1 x : In= [ln(lnx)]22n+1n

= ln(ln 2n+1)−ln(ln 2n)

= ln((n+ 1) ln 2)−ln(nln 2)

= ln

(n+ 1) ln 2 nln 2

= ln

n+ 1 n

= ln

1 + 1 n

(2)

Or n7→ 1

n est décroissante, donc il en est de même pour n7→1 + 1 n. En appliquant la fonction ln croissante, on en déduit quen 7→ln

1 + 1

n

est décroissante.

Autrement dit, (In) est décroissante.

Sinon, on exprime :

In+1−In= ln

n+ 2 n+ 1

−ln

n+ 1 n

= ln

n+ 2

n+ 1 × n n+ 1

= ln

n(n+ 2) (n+ 1)2

= ln

n2+ 2n+ 1−1 (n+ 1)2

= ln

(n+ 1)2−1 (n+ 1)2

= ln

1− 1

(n+ 1)2

Or 1

(n+ 1)2 >0, donc 1− 1

(n+ 1)2 <1et ln

1− 1

(n+ 1)2

<0.

On en déduit que In+1−In<0, donc que la suite est décroissante.

Références

Documents relatifs

La figure C montre un point d’équilibre asymptotiquement stable, ce qui correspond au cas où les valeurs propres de la matrice sont toutes les deux de partie réelle

On suppose qu’il existe une fonction int´ egrable f telle que 1/f soit ´ egalement int´ egrable.. Que peut-on dire de la mesure

Ceci est QCM (Questions à Choix Multiples) : aucune justification n'est demandée.. D et D'

[r]

Première S2 Exercices sur le chapitre 15

Un vecteur normal à la droite (AB) est un vecteur orthogonal à

[r]

[r]