Soit n un entier naturel. Calculer les quantit´ es suivantes : – S n :=

IUP SID Analyse 2010-2011

Examen du 25 Octobre 2010 de 15h45 ` a 17h45

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1 Questions de cours

Soit n un entier naturel. Calculer les quantit´ es suivantes : – S n :=

n

X

j=0

C _n ^j 2 ^−(j+n) . On remarquera que j − n = −2j − (n − j).

– T _n :=

n

X

j=0

2 ^j−n .

Montrer que (S _n ) et (T _n ) sont des suites convergentes.

2 Int´ egration

On rappelle que R +∞

−∞ exp

−x

2

dx = √

2π. Calculer les int´ egrales qui suivent. Dans le cas d’int´ egrales sur un intervalle non born´ e, on justifiera pourquoi les int´ egrales sont finies.

Z 1

0

1

x ² + 2x + 5 dx, Z 0

−∞

e ^x dx e ^2x + 2e ^x + 5 ,

Z +∞

−∞

x ⁴ exp −x ²

2

dx, Z +∞

−∞

x ² e ^−|x| dx.

3 S´ eries

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n = (1 + n ⁸ ) ^−α , (n ∈ N ) est-elle convergente ?

2) Montrer que les s´ eries de terme g´ en´ eral u _n d´ efini ci-dessous sont convergentes :

• u _n = n ⁵ n!

(2n)! ,

• u _n = n ⁵ cos(n) sin(n) log(n)

n! ,

• u _n = n ² + 4n

n ⁴ + 1 .