Exercice 1. Calculer les primitives suivantes par int´ egration par parties : a) R

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2013/2014

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 10

Exercice 1. Calculer les primitives suivantes par int´ egration par parties : a) R

ln x dx b) R

(ln x) ² dx c) R

x ln x dx d) R

cos x e ^x dx

Exercice 2. Consid´ erons l’int´ egrale

I = Z ln 2

0

√

e ^x − 1 dx

Effectuer le changement de variables u = √

e ^x − 1 et calculer I.

Indication : on peut admettre que R ₁

1+u

du = arctan u.

Exercice 3. Calculer les primitives suivantes par changement de variable : a) R

(cos x) ¹²³⁴ sin x dx b) R ₁

x ln x dx c) R 1

3+e

dx

Exercice 4. Soit f : [−a, a] → R une fonction continue qui est impaire, c’est-` a-dire on a f (x) = −f (−x) ∀ x ∈ [−a, a].

Montrer que R a

−a f (x)dx = 0.

Exercice 5. Soit n ∈ N ^∗ . Sans calculer les int´ egrales, montrer que Z π/2

0

sin ⁿ x dx = Z π/2

0

cos ⁿ x dx.

Exercice 6. Soit α 6= −1 un param` etre.

a) D´ eterminer les α ∈ R tels que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R 1

0 x ^α dx existe.

b) D´ eterminer les α ∈ R tels que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R ∞

1 x ^α dx existe.

1

Exercice 7.

a) Montrer que R _{ln t}

t dt = ¹ ₂ (ln t) ² . D´ ecider si l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R ∞ 1

ln t

t dt existe.

b) Montrer que R _{ln t}

t

dt = − ¹ _t − ^ln _t ^t . D´ ecider si l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R ∞ 1

ln t

t

dt existe.

Exercice 8.

a) Soit f : [1, ∞[→ R ⁺ une fonction continue qui est d´ ecroissante. On consid` ere la suite (u _n ) _{n∈ N} donn´ ee par

u _n :=

n

X

k=1

f (k).

Montrer que la suite u n converge pour n → ∞ si et seulement si l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R ∞ 1 f (x)dx existe.

b) Montrer que la suite (u n ) _n∈N donn´ ee par u n := P n k=1

1

k diverge.

c) Montrer que la suite (u n ) _n∈N donn´ ee par u n := P n k=2

1

k ln k diverge.

Exercice 9. On consid` ere la fonction

f : [0, 2] → R , x 7→ √ x.

a) Dessiner le solide de revolution autour de l’axe y = 0 engendr´ e par f . b) Calculer son volume.

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