Exercice 3.Calculer les limites suivantes

Institut Galil´ee -Universit´e Paris 13 Cours communs ing´enieur

Ann´ee 2016-2017 Fiche n 5. Int´egration et ´equations di↵´erentielles.

Exercice 1.On rel`eve la vitesse d’un coureur toutes les0.5 secondes pendant les3premi`eres secondes de sa course. Les vitesses sont report´ees dans le tabelau ci-dessous. Donner une majoration et une minoration de la distance parcourue par ce coureur pendant ces3 secondes.

t(s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 v(m/s) 0 6.2 10.8 14.9 18.1 19.4 20.2 Exercice 2.En utilisant les sommes de Riemann, calculer les int´egrales

1.

Z 2 1

x²dx, (on rappelle quePn

k=1k²= n(n+1)(2n+1)

6 ).

2.

Z 2 1

1

x²dx, (on pourra ´ecrire une somme de Riemann relative `a une subdvision et (⌘i)_1in avec⌘i =pxi 1xi,i= 1,· · · , n.

Exercice 3.Calculer les limites suivantes.

a) lim

n!+1

Xn k=1

pk

npn, b) lim

n!+1

Xn k=1

1

3n+k, c) lim

n!+1

Yn k=1

✓ 1 + k²

n²

◆n¹

.

Exercice 4.

1. Calculer les int´egrales suivantes.

a) Z 0

1

(x+ 2)e^xdx, b) Z ln 2

0

pe^x 1dx.

(Pour la derni`ere int´egrale, on pourra e↵ectuer le changement de variableu=p

e^x 1.) 2. Calculer les primitives suivantes.

a)

Z 3x² x+ 1

x³+x dx, b)

Z 2x+ 1 px²+x+ 1dx.

Exercice 5.Une usine de montage de voitures poss`ede une pi`ece n´ecessaire `a l’assemblage qui doit ˆetre contrˆol´ee r´eguli`erement.

Cette pi`ece d´eprecie `a un tauxf(t)avecf une fonction continue ett le temps mesur´e en mois depuis le dernier contrˆole. Le coˆut d’un contrˆole de cette pi`ece est not´eA. L’usine cherche `a d´eterminer le temps optimal entre deux contrˆoles.

1. Expliquer pourquoi Z t

0

f(s)dsrepresente la perte de valeur de la pi`ece pendant la p´eriodetsuivant le dernier contrˆole.

2. SoitC(t)donn´e par

C(t) =1 t

✓ A+

Z t 0

f(s)

◆ . Que repr´esenteC et pourquoi l’usine souhaiterait-elle minimiserC?

3. Montrer queCadmet un minimum aux tempst=T auxquelsC(T) =f(T).

Exercice 6.A l’aide de la premi`ere formule de la moyenne calculer les limites suivantes.

xlim!0

Z 3x x

dt

te^t, lim

n!+1

Z n²+n+1 n²+1

arctant² pt dt.

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Exercice 7.[Vrai-Faux] Justifiez vos r´eponses. Soitf une fonction continue de[ 1,1]dans R. On note I(f) = Z 1

1

f(x)dx.

1. La quadrature num´erique ²₃ 2f( ¹₂) f(0) + 2f(¹₂) approchant l’int´egraleI, est d’ordre3.

2. SoitJ(f)une quadrature num´erique d’ordre3approchantI(f). Alors,J(x³) I(x³) =₁₂¹. 3. SoitIN(f)une formule de quadrature composite approchantI(f)qui est telle que

|EN(f)|=|I(f) IN(f)| 1 N².

Pour obtenir une approximation de I(f)parIN(f)`a l’ordre10 ⁶, il faut subdiviser l’intervalle[0,1]en1000sous-intervalles.

4. La m´ethode composite de Simpson avec une subdivision de[0,^⇡₂ en6sous-intervalles donne une approximation de Z ^⇡₂

0

1 tanxdx d’ordre 10 ⁵.

Exercice 8.Calculer une approximation des int´egrales ci-dessous `a l’aide des m´ethodes du point milieu, du trap`eze et de Simpson composites lorsque l’intervalle d’int´egration est subdivis´e ennsous-intervalles.

Z 2 0

x 1 +x²dx,

Z ⇡ 0

xcos(x)dx, n= 1,2.

Exercice 9.Un radar a ´et´e utilis´e pour enregistrer la vitesse d’un coureur pendant les 5 premi`eres secondes d’une course (voir le tableau). Utilisez la m´ethode de Simpson pour estimer la distance parcourue par le coureur pendant ces 5 secondes.

t(sec) 0 1 2 3 4 5 6

v (m`etre par sec) 0 3 7 9 10 11 13

Exercice 10.Calcul approch´e deln 2.

1. CalculerI= Z 1

0

1 1 +xdx.

2. On poseJ =¹₆(1 +⁸₃+¹₂). Expliquer pourquoiJ est une valeur approch´ee deln 2 `a10 <sup>2</sup> pr`es.

3. D´eterminer le nombre de subdivisions r´eguli`eres de [0,1] pour obtenir une approximation de I `a 10 ¹⁰ pr`es en utilisant les m´ethodes des trap`ezes et de Simpson composites.

Exercice 11.Soitf une fonction continue sur[0,1]. On cherche `a approcher Z 1

0

f(x)dxpar la formule de quadrature num´erique suivante :

J= 1 2f(1

3) +1 2f(2

3).

1. D´eterminer les nœuds, les poids et l’ordre de cette m´ethode.

2. Illustrer graphiquement cette m´ethode d’approximation.

3. On posef(x) = 3

1 + 3x. CalculerJ, puis l’erreurR1

0 f(x)dx J. (On rappelle queln 2⇡0.69).

4. Proposer une m´ethode permettant d’am´eliorer la pr´ecision de l’approximation deR1

0 f(x)dxpar la quadrature num´erique d´efinie ci-dessus.

Exercice 12.Pour chaque ´equation di↵´erentielle donn´ee ci-dessous indiquer le graphe correspondant `a une solution.

a) y⁰(x) = 1 +x²+y² b) y⁰(x) = exp( x² y²)

c) y⁰(x) = sin(xy) cos(xy) d) y⁰(x) = 1

1 + exp(x²+y²)

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Exercice 13.On consid`ere l’´equation di↵´erentielle y⁰(t) 1

ty(t) (y(t))²= 9t². (E)

1. D´eterminer un r´eelatel quey(t) =atsoit solution de (E). On note yp cette solution.

2. Montrer que le changement de fonction inconnuey(t) =yp(t) _z(t)¹ transforme l’´equation (E) en l’´equation suivante.

z⁰(t) + (6t+1

t)z(t) = 1.

(E⁰)

3. D´eterminer l’ensemble des solutions de (E⁰), d´efinies sur ]0,+1[.

4. En d´eduire l’ensemble des solutions de (E), d´efinies sur ]0,+1[.

Exercice 14.Soit l’´equation di↵´erentielle avec condition initiale : ( y⁰(t) = y(t) +e2t,

y(0) = 2,

1. Montrer que cette ´equation di↵´erentielle a pour solution analytique y(t) =e^t+e^2t.

2. En prenant h = 0.2, calculer `a l’aide de la m´ethode d’Euler explicite une approximation de y(0.2). En d´eduire une approximation dey⁰(0,2).

3. En prenanth= 0.1, faire deux it´erations de la m´ethode d’Euler explicite et calculer les erreurs absolues commises sur y1

ety2en comparant les r´esultats avec la solution analytique.

4. Expliquer pourquoi l’erreur absolue sury1est-elle inf´erieure `a celle obtenue sury2? Exercice 15.La hauteurx(t) (en m) d’un parachutiste au temps t (en s) v´erifie l’´equation :

8>

<

>:

x⁰⁰(t) = 9,81 k(t)x⁰(t),

x(0) = 1200,

x⁰(0) = 0.

Dans cette ´equation,k(t) (ens ¹) est le coefficient de friction et on pose : k(t) =

( ₂

11 sit10, 2 sit >10,

1. Transformer l’´equation di↵´erentielle ci-dessus d’ordre 2 en un syst`eme de deux ´equations di↵´erentielles d’ordre 1 avec conditions initiales.

2. En utilisant la m´ethode d’Euler explicite et un pas de temps h= 0.1s, ´evaluer la hauteur et la vitesse du parachutiste au tempst= 10.1ssachant quex(10) = 909.3metx⁰(10) = 45.2m s ¹.

3. SoitE la valeur de l’erreur d’approximation dex(10.1) calcul´ee en 2. Quelle serait approximativement l’erreur si on avait pris un pash= 0.01 pour calculer une approximation dex(10.1) ?

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