H10151. Pi` ece tricolore
Le sol de cette pi`ece a ´et´e peint en 3 couleurs de mani`ere que deux points quelconques distants de 1 m`etre sont de couleurs diff´erentes. Que pouvez- vous en conclure pour la taille de la pi`ece ?
Solution
La pi`ece ne peut ˆetre que de dimension limit´ee, mˆeme pas 2×2 m`etres si elle est carr´ee. Sinon, on pourrait tracer sur le sol une figure constitu´ee de – deux triangles ´equilat´erauxABC etBCD de cˆot´e 1 m`etre ;
– deux triangles ´equilat´erauxAEF etEF Gde cˆot´e 1 m`etre ;
– les deux segmentsADetAGfaisant entre eux un angle tel que la distance DG= 1 m`etre.
En effet, selon la condition de l’´enonc´e,B etC sont de couleurs diff´erentes, etA et D sont de la 3`eme couleur ; E et F sont de couleurs diff´erentes de celle-ci et diff´erant entre elles ; alors G doit aussi avoir la couleur de A, et DetG `a distance 1 sont de la mˆeme couleur, contredisant l’´enonc´e.
Cependant, on peut peindre de la fa¸con prescrite par l’´enonc´e un couloir de longueur illimit´ee, s’il est assez ´etroit : avec 86 cm de largeur, il suffit de le peindre en rectangles de 86×51 cm, les couleurs se succ´edant toujours dans le mˆeme ordre A,B,C,A,B,C,. . ..
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