Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 2 Suites num´eriques
Exercice 1 — Indiquer avec une br`eve justification si chacun des ´enonc´es suivants est vrai pour deux suites de r´eelsU = (un)n∈N etV = (vn)n∈N.
1. SiU est croissante et convergente, elle est major´ee.
2. SiU est major´ee et convergente, elle est croissante.
3. SiU est d´ecroissante et positive, elle converge.
4. SiU est croissante et non major´ee , elle diverge.
5. SiU et V sont divergentes,U+V est divergente.
6. SiU est convergente et V divergente,U+V est divergente.
7. SiU est convergente et V divergente,U V est divergente.
8. SiU tend vers 0,U V tend vers 0.
Exercice2 — On veut montrer de plusieurs mani`eres diff´erentes que la suite (un)n∈N∗d´efinie parun= 1 + 1
2+· · ·+1 ne converge pas dansR n
1. Montrer que (un)n∈N∗ n’est pas une suite de Cauchy et conclure.
2. On posevn= 1 2n + 1
2n+ 1 +· · ·+ 1 2n+ (2n−1). – Montrer que pour toutn∈N, vn> 1
2.
– En remarquant que 2n+ (2n−1) = 2n+1−1, montrer queu2n+1−1=v0+v1+· · ·+vn et conclure.
3. Comparerun `a une int´egrale.
Exercice3 — On consid`ere les deux suites de nombres r´eels (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ d´efinies par : un= 1 + 1
1!+· · ·+ 1
n! etvn =un+ 1 n.n!. 1. Montrer que :
(a) la suite (un)n∈N∗ est croissante ; (b) la suite (vn)n∈N∗ est d´ecroissante ; (c) pour tout n≥1,un≤vn;
(d) limn→+∞(vn−un) = 0.
En d´eduire que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ sont convergentes et de mˆeme limite. Cette limite est le nombre r´eele.
2. Montrer que pour tout entiern >0 il existe un unique nombre r´eelθn v´erifiant 0< θn<1 et tel que e= 1 + 1
1!+· · ·+ 1 n!+ θn
n.n!. (1)
3. Montrer queeest irrationnel (on montrera que la formule (1) n’est pas possible sie= p
q avecpetqdansN∗.
Exercice4 — Soit (un)n∈Nune suite tendant versl (avecl un nombre r´eel ou +∞ou−∞).
1
1. On pose, pour toutn∈N,vn= 1 n+ 1
n
X
k=0
uk. Montrer que limn→+∞vn =l. Montrer que la r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral, mais est vraie lorsqueun est monotone.
2. On pose pour toutn∈N∗,wn= 1 n2
n
X
k=0
kuk. Montrer que limn→+∞wn=2l.
Exercice5 — Soit (un)n∈Nune suite r´eelle `a termes strictement positifs, telle que la suite un+1
un converge vers une limitel. Montrer que limn→+∞ √n
un=l.
Exercice6 — Soitf une fonction positive d´ecroissante et continue sur [1,+∞[ et
un=
n
X
k=1
f(k)− Z n
1
f(x)dx.
Montrer que la suite (un)n≥1 est d´ecroissante et minor´ee.
En d´eduire la convergence de la suite vn= 1 + 1
2+· · ·+ 1
n−logn.
Exercice7 — Montrer que si la fonctiongest continue positive et d´ecroissante sur ]0,+∞[, alors on a : Z n+1
1
g(x)dx≤
n
X
k=1
g(k)≤g(1) + Z n
1
g(x)dx.
En d´eduire le comportement de la suite d´efinie parun= 1
√n
n
X
k=1
√1 k.
Exercice8 — Soitun une suite d´ecroissante positive convergeant vers 0. On posevn =u0−u1+u2−u3+· · ·+ (−1)nun.
Soientpet kdeux entiers. Montrer queup≥up−up+1+up+2+· · ·+ (−1)kup+k≥0.
En d´eduire que la suite vn est de Cauchy.
Exercice9 — Etudier les suitesun, n∈Net vn, n∈Nd´efinies paru0, v0(0< u0< v0) et un+1= un+vn
2 et vn+1= 2unvn
un+vn
·
Exercice10 — Etudier les suites d´efinies par 1)u0= 1 etun+1=√
2un; 2)u0= 0 etun+1= 3un−2 2un−1; 3)u0≥0 etun+1= un+ 2
un+ 1; 4) u0= 1/3 etun+1=1−un
3 exp(un).
Exercice11 — Etudier les suitesun, n∈Netvn, n∈Nd´efinies paru0, v0 (0< u0< v0) et un+1=un+vn
2 et vn+1=√
un+1vn· Pour d´eterminer la limite, on posera u0=v0cosα.
Exercice12 — Etudier la suite d´efinie paru0= 0, u1= 1 etun+2= 4un+1−4un+ 2.
Exercice13 — Etudier la suite d´efinie paru0, u1et un+2=√
2un+1−un.
2
