UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM260. 2012-2013 Partiel de Math´ematiques du 15 Novembre 2012
Dur´ee 2h30. Les documents sont interdits. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1
1) D´eterminer la limite de la suite (un)n≥1 d´efinie par un= (1 +π/n)n. 2) ´Etudier en fonction de a >0 la convergence des s´eries suivantes :
+∞
X
n=1
a√n,
+∞
X
n=1
ln(n+ 1)−lnn (n+ 1)a−na .
3) ´Etudier en fonction dea >0 la convergence de la s´erie de terme g´en´eral un = ln
1 + (−1)n
√n + a n
, n≥1.
Exercice 2
1) Montrer que la suite de fonctions (Sn)n≥1 d´efinie par Sn(x) =
n
X
k=1
(−1)k x+k converge simplement sur l’intervalle [0,+∞[.
2) On note x 7→ S(x) sa limite. Montrer que la fonction S est continue sur l’intervalle [0,+∞[.
3) ´Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite des d´eriv´ees (Sn0)n≥1 sur [0,+∞[.
Montrer que la fonction S est de classe C1 sur l’intervalle [0,+∞[.
1
2
Exercice 3 Soit f : [1,+∞[→C une fonction de classe C1.
1) `A l’aide d’une int´egration par parties bien choisie, d´emontrer pour tout n ≥1 l’identit´e suivante :
Z n+1
n
f(t)dt=f(n)− Z n+1
n
f0(t)(t−n−1)dt.
En d´eduire l’in´egalit´e :
f(n)− Z n+1
n
f(t)dt ≤
Z n+1
n |f0(t)|dt.
2) On suppose de plus que l’int´egrale R+∞
1 |f0(t)|dtest convergente.
Montrer que les s´eries de termes g´en´eraux respectivement un=f(n), vn=
Z n+1
n
f(t)dt, n ≥1, sont de mˆeme nature.
3) Soit a >1/2. On consid`ere la fonction fa: [1,+∞[→C d´efinie par fa(x) = ei√x
xa . a) Montrer que l’int´egrale R+∞
1 |fa0(t)|dtest convergente.
b) On rappelle (on ne demande pas de le d´emontrer) que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
1 t−αeitdtest convergente quel que soit α >0.
A l’aide d’un changement de variable, montrer que si` a > 1/2, la fonction x7→Rx
1 fa(t)dtconverge lorsque x tend vers +∞. 4) Montrer que si a >1/2, la s´erie P+∞
n=1ei√n/na est convergente.
