Montrer que la suite Sn= n X k=1 n n2−nk+k2 admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini

Universit´e de Bordeaux - CPBX - PC ´ecoles S4 - Correction du devoir surveill´e du 9 avril 2018.

Exercice 1. a. Calculer l’int´egrale I=

Z 1

0

1 1−t+t²dt.

Puique 1−t+t² ne s’annule pas sur R (car le discriminant vaut -3), la fonctionf(t) := _1−t+t¹ ₂ est continue sur [0,1] et l’int´egrale existe. On ´ecrit

I= Z 1

0

1 t−¹₂2

+³₄ dt= 4

3 Z 1

0

1 √2t

3−^√1

3

2

+ 1 dt.

Le changement de variablex=^√2t

3−^√1

3 donne : I= 4

3

√3 2

Z ^√1₃

−^√1₃

1

1 +x²dx= 2

√3

arctan 1

√3 −arctan

− 1

√3

= 2

√3 π

6 +π 6

= 2π 3√

3.

b. Montrer que la suite

Sn=

n

X

k=1

n n²−nk+k² admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini.

On remarque que S_n=Pn k=1

1

nf(^k_n) avecf(t) = _1−t+t¹ ₂. Puiquef est continue sur [0,1], le th´eor`eme de la convergence des sommes de Riemann assure queSn convergeI quandntend vers l’infini.

Exercice 2. SoitR∈[0,1[.

a. Calculer

I= Z R

0

t 1−t²dt

I=

−¹₂ln(1−t²)R

0 =¹₂ln

1 1−R²

.

b. Montrer que pour toutt∈[0, R] et toutN entier, on a 0≤ t

1−t² −

N

X

k=0

t^2k+1≤ t^2N+3 1−R². on ´ecrit

t 1−t² −

N

X

k=0

t^2k+1= t(t²)^N+1

1−t² ≤ t^2N+3 1−R².

c. En d´eduire que l’on a 0≤ln

1 1−R²

−

N

X

k=0

R^2(k+1)

k+ 1 ≤ R^2N+4 (1−R²)(N+ 2). On int`egre l’in´egalit´e pr´ec´edente sur [0, R] et on multiplie par 2.

d. Comment peut-on calculer facilement une approximation de ln(4/3) avec deux chiffres exacts apr`es la virgule ?

1

2

On choisitR=¹₂ et on d´eduit de l’in´egalit´e pr´ec´edente que 0≤ln(4/3)−1

4

N

X

k=0

1

4^k(k+ 1) ≤ 1 3(N+ 2)4^N+1. PourN = 1 on obtient deux d´ecimales exactes :

0≤ln(4/3)− 9 32 ≤ 1

144. (9/32 = 0,28125,ln(4/3) = 0,2876....)

Exercice 3. Soient

f(x) = sin(πx)

lnx , g(x) = 1 xln²x a. Montrer quef est int´egrable sur ]1,2].

f est continue sur ]1,2] et au voisinage de 1 on asin(πx)∼ −π(x−1), lnx∼(x−1) doncf(x)∼ −π.

On en conclut quef est int´egrable sur ]1,2].

b. Montrer queg est int´egrable sur [2,∞[.

En posantt= lnxon aRb

2g(x)dx=Rlnb ln 2

1

t²dtet comme 1/t²est int´egrable sur [1,∞[ on en d´eduit que gest int´egrable sur [2,∞[.

c. En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee def sur [2,∞[ existe.

Une int´egration par parties donne Z b

2

f(x)dx= 1 π

1

ln 2 −cos(bπ) lnb +

Z b

2

cos(πx)g(x)dx

! .

Comme|cos(πx)g(x)|≤g(x) qui est int´egrable sur [2,∞[, on en d´eduit que la limite des int´egrales existe quandb→ ∞.

d. Montrer quef n’est pas int´egrable sur [2,∞[.

Pour 3≤n≤b < n+ 1,n∈N, on ´ecrit Z b

2

|f(x)|dx≥ Z n

2

|f(x)|dx=

n−1

X

k=2

Z k+1

k

|f(x)|dx=

n−1

X

k=2

Z 1

0

|f(k+t)|dt

=

n−1

X

k=2

Z 1

0

sin(tπ) ln(k+t)dt≥

n−1

X

k=2

1 ln(k)

Z 1

0

sin(tπ)dt≥ 2 π

n−1

X

k=2

1

k → ∞, n→ ∞.

Exercice 4. Etant donn´ex∈R, on pose f(x) =

Z ∞

0

sin(xt) t e^−tdt.

a. Montrer quef(x) est bien d´efini.

sin(xt) t e^−t

≤|x|e^−t qui estt-int´egrable sur ]0,∞[.

b. Enoncer le th´eor`eme de d´erivation de Lebesgue d’une int´egrale `a param`etre. Montrer que f ∈C¹(R) et calculerf⁰(x).

On v´erifie l’hypoth`ese de domination

∂_x

sin(xt) t e^−t

=

cos(xt)e^−t ≤e^−t

3

et commee^−test int´egrable sur [0,∞[ on peut appliquer le th´eor`eme de d´erivation qui assure que f⁰(x) =

Z ∞

0

cos(xt)e^−tdt=<

Z ∞

0

e^t(ix−1)dt=<

e^t(ix−1) ix−1

^∞

0

= 1

1 +x²

c. En d´eduire la valeur def(x).

Puisquef⁰(x) = _1+x¹2 on af(x) = arctan(x) +Cet comme f(0) = 0, on aC= 0.

d. En d´eduire que pour toutx >0 l’int´egrale F(x) =

Z ∞

0

siny

y e^−y/xdy existe, et admet une limite que l’on calculera quandx→ ∞.

x >0 ´etant fix´e, le changement de variabley=xtdonne arctan(x) =f(x) =

Z ∞

0

sin(xt)

t e^−tdt= Z ∞

0

siny

y e^−y/xdy=F(x) doncF(x) =f(x) qui tend versπ/2 quandx→ ∞.