Montrer que la suiteun=Pn k=1 1 n+√ kn admet une limite quand n→ ∞que l’on calculera

Universit´e Bordeaux 1 - CPBX - PC ´ecoles S4 - Correction du devoir surveill´e du 4 mars 2011.

Exercice 1.

Montrer que la suiteun=Pn k=1

1 n+√

kn admet une limite quand n→ ∞que l’on calculera.

On remarque queu_n =Pn k=1

1 n

1 1+√

k n

=Pn k=1

1 nf ^k_n

o`u f(x) = <sub>1+</sub><sup>1√</sup><sub>x</sub> est une fonction continue sur [0,1]. Le th´eor`eme des sommes de Riemann assure queun converge versI =R1

0 f(x)dx. Le changement de variablest=√

xdonne

I= Z 1

0

2t 1 +tdt=

Z 1

0

2− 2

1 +tdt= 2−2 ln 2.

Exercice 2. Montrer que toute fonctionf ∈C⁰([a, b];E) v´erifiantRb

a kf(t)kdt= 0 est identiquement nulle.

Supposons qu’il existe t₀ ∈ [a, b] tel que f(t₀) 6= 0. Par continuit´e de f, il existe 0 < h < b−a tel que sur l’intervalle I = [t₀−h, t₀+h]∩[a, b], on ait k f(t) k≥ ¹₂ k f(t₀) k. On en d´eduit que Rb

a kf(t)kdt≥R

I kf(t)kdt≥ ^h₂ kf(t0)k6= 0, ce qui contredit l’hypoth`ese.

Exercice 3. a. En utilisant une int´egration par partie, calculer l’int´egrale

I= Z 1

0

ln(1 +x²)dx.

On ´ecrit

I= Z 1

0

1.ln(1 +x²)dx=

xln(1 +x²)¹

0− Z 1

0

x 2x 1 +x²dx

= ln 2−2 Z 1

0

1− 1 1 +x²dx

= ln 2−2 + 2 [arctanx]¹₀

= ln 2−2 +π 2. b. Montrer que la suite

u_n=

n

Y

k=1

1 + k²

n² _n¹

admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini.

un est strictement positif et on remarque que lnun=Pn k=1

1

nf(^k_n) avecf(t) = ln(1 +x²). Le th´eor`eme de la convergence des sommes de Riemann assure que lnunconvergeI quandntend vers l’infini, et comme l’exponentielle est une fonction continue, on conclut queun converge verse^I = 2e^π2−2.

Exercice 4. a. Soit F ∈ C²([0, T];E) v´erifiant F(0) = F⁰(0) = 0 et F⁰⁰(t) ≤ Ct. Montrer que F(t)≤^C₆t³.

On ´ecrit|F⁰(x)|=|Rx

0 F⁰⁰(t)dt|≤Rx

0 Ctdt=C^t₂², et|F(x)|=|Rx

0 F⁰(t)dt|≤Rx

0 C^t₂²dt=C^t₆³. b. Soitf ∈C²([a, b];E). Pour t ∈[0,^b−a₂ ] et c= ^a+b₂ , on poseF(t) =Rc+t

c−tf(x)dx−2tf(c). Calculer F(0), F⁰(0) et montrer quekF⁰⁰(t)k ≤2tkf⁰⁰k∞.

On calcule F⁰(t) = f(c+t) +f(c−t)−2f(c), F⁰⁰(t) = f⁰(c+t)−f⁰(c−t) et par le th´eor`eme des accroissements finis|F⁰⁰(t)|≤2tkf⁰⁰k∞.

1

2

c. On poseak=a+k^b−a_n . Montrer que

Z b

a

f(x)dx−b−a n

n−1

X

k=0

f

a_k+a_k+1 2

≤(b−a)³

24n² kf⁰⁰k∞.

On utilise les r´esultats pr´ec´edents avec a = ak, b =ak+1, c = ^ak+a₂^k+1(= ck), C = 2 k f k_∞ pour d´eduire que|Rck+t

c_k−tf(x)dx−2tf(ck)|≤2kf⁰⁰k_∞^t₆³ et avect= ^b−a_2n on obtient|Rak+1

a_k f(x)dx−^b−a_n f(ck)|≤

(b−a)³

24n³ kf⁰⁰k_∞. On conclut avec la relation de Chasles qui donne

Z b

a

f(x)dx−b−a n

n−1

X

k=0

f

ak+ak+1

2

=

n−1

X

k=0

Z a_k+1

ak

f(x)dx−b−a n f

ak+ak+1

2

≤

n−1

X

k=0

Z ak+1

a_k

f(x)dx−b−a n f

ak+ak+1

2

≤

n−1

X

k=0

(b−a)³

24n³ kf⁰⁰k∞=(b−a)³

24n² kf⁰⁰k∞.

Exercice 5. Soitz=a+ib∈C^∗,a, b∈R,a≤0. On d´efinit I=

Z ¹₂

0

e^zt

1−tdt, k∈N, I_k= Z ¹₂

0

t^ke^ztdt.

a. CalculerI0et donner une relation entre Ik+1 etIk.

Un calcul direct et une int´egration par partie donnent I0= e^z/2−1

z , Ik+1= e^z/2

2^k+1z −k+ 1 z Ik. b. montrer que pour tout entier n

I−

n

X

k=0

Ik

≤ 1

(n+ 2)2ⁿ⁺¹.

Pour t∈[0,1/2] on a _1−t¹ −Pn

k=0t^k =^t_1−tⁿ⁺¹, et

tⁿ⁺¹ 1−te^zt

≤2tⁿ⁺¹ d’o`u

I−

n

X

k=0

I_k

=

Z 1/2

0

tⁿ⁺¹ 1−te^ztdt

≤ Z 1/2

0

tⁿ⁺¹ 1−te^zt

dt≤ Z 1/2

0

2tⁿ⁺¹= 1

(n+ 2)2ⁿ⁺¹.

c. Donner une valeur approch´ee `a 10<sup>−1</sup> pr`es des int´egrales J =

Z 1/2

0

cos(2πt)

1−t dt, H= Z 1/2

0

sin(2πt) 1−t dt.

On choisitz= 2iπet on calculeI₀= _πⁱ,I₁= _4πⁱ −_2π¹₂ et comme|I−I₀−I₁|≤ ₁₂¹ etI=J+iH, on en d´eduit queJ ∼ −_2π¹2 etH ∼ _4π⁵ `a 10<sup>−1</sup>pr`es.