Universit´e de Bordeaux - CPPBX - PC S4 - Correction du devoir surveill´e du 28 mars 2014.
Exercice 1. a. Calculer l’int´egrale
I= Z 1
0
1 1 +t+t2dt.
On ´ecrit
I= Z 1
0
1
1 2+t2
+34 dt= 4
3 Z 1
0
1 √2t
3+√1
3
2
+ 1 dt.
Le changement de variablex=√2t
3+√1
3 donne : I=4
3
√3 2
Z
√ 3
√1 3
1
1 +x2dx= 2
√3
arctan√
3−arctan 1
√3
= 2
√3 π
3 −π 6
= π
3√ 3.
b. Montrer que la suite
Sn=
n
X
k=1
n n2+nk+k2 admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini.
On remarque que Sn=Pn k=1
1
nf(kn) avecf(t) = 1+t+t1 2. Puiquef est continue sur [0,1], le th´eor`eme de la convergence des sommes de Riemann assure queSn convergeI quandntend vers l’infini.
Exercice 2. On d´efinit
I= Z 12
0
e2iπt
1−tdt, k∈N, Ik= Z 12
0
tke2iπtdt.
a. CalculerI0et donner une relation entre Ik+1 etIk.
Un calcul direct et une int´egration par partie donnent I0= i
π, Ik+1= i
2k+2π+(k+ 1)i 2π Ik. b. Montrer que pour tout entiern
I−
n
X
k=0
Ik
≤ 1
(n+ 2)2n+1.
Pour t∈[0,1/2] on a 1−t1 −Pn
k=0tk =t1−tn+1, et
tn+1 1−te2iπt
≤2tn+1 d’o`u
I−
n
X
k=0
Ik
=
Z 1/2
0
tn+1 1−te2iπtdt
≤ Z 1/2
0
tn+1 1−te2iπt
dt≤ Z 1/2
0
2tn+1= 1
(n+ 2)2n+1.
c. Donner une valeur approch´ee `a 10−1 pr`es des int´egrales
J = Z 1/2
0
cos(2πt)
1−t dt, H= Z 1/2
0
sin(2πt) 1−t dt.
On aI0= πi,I1= 4πi −2π12 et comme|I−I0−I1|≤ 121 etI=J+iH, on en d´eduit queJ∼ −2π12 et H ∼4π5 `a 10−1 pr`es.
Exercice 3. a. Montrer que l’int´egrale
1
2
Z ∞
0
sinx
√xdx est convergente.
La fonction f(x) := sin√xx est continue sur ]0,∞[. En z´ero elle est ´equivalente `a x12 qui est int´egrable sur [0, π]. Doncf est int´egrable sur [0, π]. Une int´egration par parties sur [π, b] donne :
Z b
π
f(x)dx=−cosb b −1
2 Z b
π
cosx x32 dx.
Comme
cosx x32
≤x−32 qui est int´egrable sur [π,∞[, on en d´eduit que cosx
x32
est int´egrable sur [π,∞[, et comme
cosb
b →0 quandb→ ∞, on conclut que l’int´egrale def sur ]0,∞[ est convergente.
b. Montrer que la fonction sin√xx n’est pas int´egrable sur [1,∞[.
On ´ecrit pour tout entierN ≥2 : Z N π
0
sinx
√x
dx≥
N−1
X
k=1
Z (k+1)π
kπ
sinx
√x
dx≥
N−1
X
k=1
Z π
0
sinx p(k+ 1)π
dx= 2
√π
N−1
X
k=1
√ 1
k+ 1 → ∞, N → ∞.
Exercice 4. a. Montrer que l’int´egrale Z ∞
0
1 +t2 1 +t4dt est convergente.
La fonction 1+t1+t24 est continue sur [1,∞[ et ´equivalente `a t−2 `a l’infini. Donc elle est int´egrable sur [1,∞[.
b. Calculer sa valeur `a l’aide du changement de variablex=t−1t dont on justifiera l’emploi.
La fonction ϕ: t 7→x=t−1t est strictement croissante sur ]0,∞[ carϕ0(t) = 1 + t12 >0. Comme limt→0ϕ(t) =−∞, et limt→∞ϕ(t) =∞, le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires assure queϕest une bijection C1 de ]0,∞[ sur ]− ∞,∞[. On ´ecrit dx= 1+tt22dt et on remarque que 1+tt24 =x21+2, puis on posey=x/√
2 et le th´eor`eme de changement de variable donne :
Z ∞
0
1 +t2 1 +t4dt=
Z ∞
−∞
1
x2+ 2dx= 1
√2 Z ∞
−∞
1
y2+ 1dy= π
√2.
Exercice 5.
a. Enoncer le th´eor`eme de d´erivation d’une int´egrale `a param`etre de Lebesgue.
b. Pour toutx∈R, on pose
F(x) = Z ∞
−∞
cos(xt)e−t2dt.
Montrer queF(x) existe et queF ∈C1(R).
3
On note f(t, x) := cos(xt)e−t2. Comme |f(t, x) |≤e−t2 qui est int´egrable sur R, F est bien d´efinie.
De plusx7→f(t, x) estC1(R) et pour toutx, |∂xf(t, x)|≤te−t2 qui est int´egrable surR. Le th´eor`eme de Lebesgue assure queF ∈C1(R) et
F0(x) =− Z ∞
−∞
sin(xt)te−t2dt
c. En utilisant une int´egration par partie, exprimerF0(x) en fonction dexet de F(x).
Pour a >0, on ´ecrit
− Z a
−a
sin(xt)te−t2dt=
(−sin(xt))
−1 2e−t2
a
−a
−x 2
Z a
−a
cos(xt)e−t2dt.
En faisant tendreavers l’infini, on en d´eduite queF0(x) =−x2F(x).
d. En d´eduire la valeur deF(x) (on rappelle queF(0) =√ π).
On remarque que
ex42F(x)0
= 0 donc F(x) = F(0)e−x42 et comme F(0) = √
π, on conclut que
F(x) =√ πe−x42.
