a) Montrer que silimn→+∞pn= 0, alorsXntend vers 0 en probabilité quandntend vers l’infini

Université de Cergy-Pontoise 2008/2009 Licence L3 de Mathématiques.

Examen de Probabilités (durée 3 heures)

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1) Rappeler les définitions des lois : Bernoulli, Binomiale, Poisson, Hypergéométrique. Rappeler les liens éventuels qui existent entre ces lois.

2) On considère une suite de variables aléatoiresX_navecP(X_n = 0) = 1−p_netP(X_n=n) =p_n, pour une certaine suitep_nà valeurs dans[0; 1].

a) Montrer que silimn→+∞pn= 0, alorsXntend vers 0 en probabilité quandntend vers l’infini.

b) Montrer que silim_n→+∞np_n = 0, alorsX_ntend vers 0 en moyenne quand n tend vers l’infini.

Exercice 1.– Considérons deux variables aléatoiresX etY indépendantes, de densités f_X(x) =λe^−λx1_]0,+∞[(x)etf_Y(y) = µe^−µx1_]0,+∞[(x)

pour des paramètresλ >0etµ >0.

1) Calculer la fonction de répartition deX, à savoirFX(x) = P(X ≤ x)pour toutx∈ R, ainsi que celle deY.

2) En déduireP(X > uetY > u), pour toutu.

3) En déduireP(U > u), oùU est la variable aléatoire définie parU =min(X;Y).

4) En déduire la densité de probabilité deU. A quelle loi cela correspond-il ?

Exercice 2.– Soient X1, X2 deux variables aléatoires indépendantes, de même loi de probabilité N(0,1)(Normale centrée réduite), et soita ∈R\{−1}. On pose

Y₁ =X₁+aX₂ et Y₂ =−X₁+X₂. 1) Donner la loi, c’est à dire, la densité, du couple(X₁, X₂).

2) Déterminer la loi du couple(Y₁, Y₂).

3) Calculer les lois marginales du couple (Y₁, Y₂).

4) Calculer l’espérance et la variance deY₁et deY₂. 5) Calculer la covariance du couple(Y₁, Y₂).

6) Pour quelles valeurs deales variablesY₁etY₂ sont-elles indépendantes ?

Exercice 3.– Soit(X_n)_nune suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi : X_n(Ω) ={−1,1}, P(X_n=−1) =P(X_n= 1) = 1

2. Pour toutn ≥1, on poseSn=X1+· · ·+Xn.

a)

i) Rappeler la définition de la convergence en probabilité.

ii) Rappeler la loi faible des grands nombres.

iii) Montrer que la suite(^S_nⁿ)_nconverge en probabilité et préciser sa limite.

b) CalculerE(e^xSn)pourx∈Retn ≥1.

c) Soit la fonctionf(x) = ^x₂² −ln(Ch(x))définie surR⁺. i) Calculerf⁰ etf⁰⁰.

ii) Montrer quef⁰⁰(x) ≥0pour toutx ∈R⁺. En déduire quef⁰(x) ≥ 0pour toutx ∈R⁺, puis quef(x)≥0pour toutx∈R+.

iii) En déduire queE(e^xSn)≤e^n2x2 pour toutx≥0.

d)

i) Rappeler l’inégalité de Markov.

ii) Montrer que∀a >0, ∀x >0, ∀n≥1on aP(S_n≥a)≤e^−axE(e^xSn). (Indication : appliquer l’inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie).

e) Déduire de ce qui précède queP(S_n≥a)≤e^−a

2 2n. f)

i) Calculer la fonction caractéristique deS_net celle de−S_n. En déduire queS_net−S_nsuivent la même loi.

ii) Montrer que pour touta >0on aP(S_n ≥a) =P(S_n ≤ −a).

iii) En déduire queP(|S_n| ≥a)≤2e^−a

2 2n. g) Montrer que pour toutε >0on aP(¯¯^Sn

n¯¯≥²)≤2e^−nε

2 2 .