Montrer que la suite (Mn) décroît vers 0

PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 05 Page 1 6. Soit (a_n)_n∈N une suite complexe convergeant vers 0.

a)Montrer la définition et la continuité surR def :x→

+∞

n=0

a_nxⁿ n!. b)On pose : ∀n∈N M_n= sup

p≥n

|a_p|. Montrer que la suite (M_n) décroît vers 0.

c)En déduire que : f(x) =

x→+∞o(e^x) (on pourra utiliser le théorème de la double limite).

Solution

a)Comme (an) converge, elle est bornée, je dispose donc de A réel tel que |an| ≤A pour tout N. Je fixe M >0et je constate que u_nconverge normalement sur[−M, M], où j’ai notéu_n:x→a_nxⁿ

n!. En effet

∀n∈N sup

[−M,M]

|u_n| ≤AMⁿ n!

et la série numérique AMⁿ

n! converge (série exponentielle. . . ).

A fortiori, u_nconverge uniformément sur[−M, M], or les u_nsont continues, par conséquentf est définie et continue sur [−M, M], cela pour toutM >0. En conclusion

f est définie et continue surR.

b)Soit pour tout n, En = |ap|, p≥n . Comme la suite (an) est bornée, En est une partie non vide majorée de R, d’où l’existence de M_n = supEn. Soit n ∈ N ; par définition En+1 ⊂ En, donc M_n est un majorant de En+1, d’où par définition de la borne supérieure M_n+1 ≤ M_n : la suite (M_n) est décroissante. Enfin, pour ε > 0 donné, la définition de la limite de (an) me fournit n₀ tel que

|a_n| ≤ε pour toutn≥n₀. Alorsεest un majorant de En0 et doncM_n0 ≤ε. Or (M_n) décroît donc

∀n≥n₀ 0≤M_n≤ε.

Ainsi, par définition de la limite,

La suite (Mn) décroît vers 0.

c)Je montre quef(x)e^−x −→

x→+∞0à l’aide du théorème de la double limite. Notonsv_n:x→u_n(x)e^−x et g=

∞ n=0

v_n :x→f(x)e^−x. D’après a),g est définie et continue surR. De plus, pour nfixé, par croissances comparées

v_n(x) = 1

n!xⁿe^−x −→

x→+∞0.

Je montre enfin que v_n converge uniformément surR⁺ en majorant le reste R_p =

∞ n=p+1

v_n, pour p fixé :

∀x∈R⁺ |R_p(x)| ≤M_p+1

∞ n=p+1

xⁿ

n!e^−x≤M_p+1 cela par définition de M_p+1 et car

∞ n=p+1

xⁿ

n! ≤ e^x. Comme M_p+1 est indépendant de x et tend vers 0, il en résulte que (Rp) converge uniformément vers 0 sur R⁺, c’est-à-dire que v_n converge uniformément sur R⁺.

Je peux donc appliquer le théorème de la double limite : g(x) −→

x→+∞

∞ n=0

lim+∞v_n = 0. Autrement dit f(x)

e^x −→

x→+∞0, c’est-à-dire

f(x) =

x→+∞o(e^x).