Universit´e Lille 1 L2 Maths
2017 - 2018 S3 - M33
Epreuve du 14 juin 2018 – 8h00´ Dur´ee : 3h. Sans document ni calculatrice.
Le bar`eme indiqu´e est approximatif.
Exercice 1. (2 points)Soit (xn)n≥0 une suite de nombres r´eels telle que, pour toutn≥1, on ait
xn−1 ≤ xn ≤ xn−1+ 1 n2. Montrer que la suite (xn)n≥0 converge.
Exercice 2. (6 points) Dans chacun des cas suivants, d´eterminer l’ensemble des r´eels α strictement positifs pour lesquels la s´erie X
n≥1
un est convergente.
a. un = 1
nα −sin 1
nα
; b. un= sin(nα) n2 + 1
n2/α ;
c. un = αn
1 +α2n ; d. un= (−1)n
1
nα −sin 1
nα
.
Exercice 3. (12 points)
1. Pour quels r´eels α l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
1
dt
tα converge-t-elle, et quelle est alors la valeur de cette int´egrale ?
2. Soit x un nombre r´eel. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
1
dt
tx(t+ 1) converge si et seulement si on a x >0.
On consid`ere alors la fonction F d´efinie sur ]0,+∞[ par
F(x) = Z +∞
1
dt tx(t+ 1). 3. Calculer F(1) et F 12
.
4. Montrer que la fonction F est continue sur ]1,+∞[.
5. Montrer que pour tout x ∈]0,+∞[, on a
F(x) +F(x+ 1) = 1 x.
(T.S.V.P.)
6. D´eduire de4 et 5 que la fonction F est continue sur ]0,+∞[.
7. D´eterminer lim
x→0xF(x) et en d´eduire un ´equivalent de F(x) quand x→0.
8. A l’aide d’une int´` egration par parties soigneusement justifi´ee, montrer que pour tout x >1, on a
F(x) = 1
2(x−1) − 1
x−1ϕ(x) avec ϕ(x) = Z +∞
1
dt tx−1(t+ 1)2.
9. Montrer que pour tout x > 1, on a 0≤ϕ(x)≤ 1 x. 10. En d´eduire lim
x→+∞xF(x) et donner un ´equivalent de F(x) quand x→+∞.
