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Montrer que la suite (xn)n≥0 converge

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Academic year: 2021

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Universit´e Lille 1 L2 Maths

2017 - 2018 S3 - M33

Epreuve du 14 juin 2018 – 8h00´ Dur´ee : 3h. Sans document ni calculatrice.

Le bar`eme indiqu´e est approximatif.

Exercice 1. (2 points)Soit (xn)n≥0 une suite de nombres r´eels telle que, pour toutn≥1, on ait

xn−1 ≤ xn ≤ xn−1+ 1 n2. Montrer que la suite (xn)n≥0 converge.

Exercice 2. (6 points) Dans chacun des cas suivants, d´eterminer l’ensemble des r´eels α strictement positifs pour lesquels la s´erie X

n≥1

un est convergente.

a. un = 1

nα −sin 1

nα

; b. un= sin(nα) n2 + 1

n2/α ;

c. un = αn

1 +α2n ; d. un= (−1)n

1

nα −sin 1

nα

.

Exercice 3. (12 points)

1. Pour quels r´eels α l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

1

dt

tα converge-t-elle, et quelle est alors la valeur de cette int´egrale ?

2. Soit x un nombre r´eel. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

1

dt

tx(t+ 1) converge si et seulement si on a x >0.

On consid`ere alors la fonction F d´efinie sur ]0,+∞[ par

F(x) = Z +∞

1

dt tx(t+ 1). 3. Calculer F(1) et F 12

.

4. Montrer que la fonction F est continue sur ]1,+∞[.

5. Montrer que pour tout x ∈]0,+∞[, on a

F(x) +F(x+ 1) = 1 x.

(T.S.V.P.)

(2)

6. D´eduire de4 et 5 que la fonction F est continue sur ]0,+∞[.

7. D´eterminer lim

x→0xF(x) et en d´eduire un ´equivalent de F(x) quand x→0.

8. A l’aide d’une int´` egration par parties soigneusement justifi´ee, montrer que pour tout x >1, on a

F(x) = 1

2(x−1) − 1

x−1ϕ(x) avec ϕ(x) = Z +∞

1

dt tx−1(t+ 1)2.

9. Montrer que pour tout x > 1, on a 0≤ϕ(x)≤ 1 x. 10. En d´eduire lim

x→+∞xF(x) et donner un ´equivalent de F(x) quand x→+∞.

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