Universit´e de Cergy-Pontoise - Licence L3- S5 Calcul Int´egral - Vendredi 22 d´ecembre 2006
Dur´ee: 3h00 - Ni document ni calculatrice autoris´es
.Notations: B=B(IR) est la tribu bor´elienne deIR. On note 1A la fonction indicatrice de l’ensemble A (1A(x) = 1 si x∈A et 1A(x) = 0 si x /∈A).
Les 4 probl`emes sont ind´ependants.
Exercice I ( 6 pts)
Soit (E,T, µ) un espace mesur´e avec µ mesure finie et soit f : (E,T) → (IR+,B) une fonction mesurable positive.
1) Montrer que pour tout n∈IN∗,
n−1X
k=1
k1{k≤f <k+1}+n1{f≥n} ≤f 2) a) Montrer que pour toutk ∈IN,
µ(k ≤f < k+ 1) =µ(f ≥k)−µ(f ≥k+ 1).
b) Montrer que
Z
E(
n−1X
k=1
k1{k≤f <k+1}) =
Xn k=1
µ(f ≥k) − nµ(f ≥n)
3) En d´eduire que si RE f dµ <+∞, la s´erie
+∞X
k=1
µ(f ≥k)
est convergente.
Exercice II (4 pts)
Soitλla mesure de Lebesgue surIRet soitf : (IR,B)→(IR+,B) une fonction bor´elienne positive ayant la propri´et´e suivante:
Il existeA ∈ B tel que λ(A)>0 et ∀x∈A, f(x)>0
Pour n∈IN∗, on d´efinit
Bn ={x∈A /|x| ≤n et f(x)≥ 1 n} 1) Montrer que pour tout n∈IN∗, Bn∈ B et que
∪n∈IN∗Bn=A
2) En d´eduire que λ(Bn)>0 pour n assez grand, puis que
Z
IR f dλ >0
Exercice III (5 pts) Pour a ∈IRet n∈IN∗, on pose In(a) =
Z n
0 (1 + x
n)ne−axdx 1) Pour n ∈IN∗, on pose
fn(x) = (1 +x
n)ne−ax1[0,n](x) Montrer que
n→+∞lim fn(x) = e(1−a)x1[0,+∞[(x) 2) a) Montrer que pour toutu≥0, ln(1 +u)≤u
b) On suppose dans cette question quea >1. Calculer la limite deJn(a), en justifiant soigneusement le r´esultat.
3) On suppose dans cette question que a ≤ 1. A l’aide du lemme de Fatou, montrer que
n→+∞lim Jn(a) = +∞
Exercice IV( 5 pts)
Soit f ∈L5([0,+∞[). Pour x≥0, on pose F(x) =
Z x
0 f(t)dt
1) Montrer que F est bien d´efinie surIR+ et qu’il existeC >0 tel que pour tout x∈IR+, on a
|F(x)| ≤Cx45 2) Montrer en le justifiant soigneusement que
n→+∞lim
Z +∞
n |f|5dt = 0
3) Montrer que pour tout n∈IN∗ et pour tout x≥n, on a
|F(x)−F(n)| ≤x45[
Z +∞
n |f|5dt]15
4) D´eduire des questions 2) et 3) que
x→+∞lim F(x)
x45 = 0
