Universit´e Pierre et Marie Curie–Paris 6 LM 260 Examen du 4 Janvier 2012
(Dur´ee 3 heures ; sans document ni calculatrice)
Exercice I Soit (fn)n∈N la suite de fonctions sur [0,1] d´efinie par
fn(t) = 2nt 1 + 2nnt2 1)Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2)CalculerIn = Z 1
0
fn(t)dt. D´eterminer la limite de la suite (In)n∈N. 3)En d´eduire que la suite (fn)n∈N ne converge pas uniform´ement sur [0,1].
4)Montrer que la suite (fn)n∈N converge uniform´ement sur [a,1] quel que soita∈]0,1].
Converge-t-elle uniform´ement sur ]0,1] ?
Exercice II A tout` x∈[0,+∞[, on associe l’int´egrale g´en´eralis´ee
F(x) = Z +∞
0
e−x(1+t2) 1 +t2 dt.
1)Montrer que cette int´egrale g´en´eralis´ee converge pour toutx∈[0,+∞[.
2)Montrer que la fonctionF : [0,+∞[→Rainsi d´efinie est continue.
3)D´eterminer la limite deF(x) quand xtend vers +∞.
4)Montrer queF est d´erivable sur l’intervalle ouvert ]0,+∞[ et qu’on a : x∈]0,+∞[, F0(x) =−e−x
√x Z +∞
0
e−t2dt.
5)Montrer que
Z +∞
0
F0(x)dx= lim
x→+∞F(x)−F(0).
(Remarquer que le premier membre est une int´egrale g´en´eralis´ee en +∞et en 0.) En calculant cette int´egrale autrement, montrer que
Z +∞
0
e−t2dt=√ π/2.
Exercice III
1)A l’aide de la formule : sin` x= (eix−e−ix)/2i, montrer qu’on a : n∈N,
Z π
0
sin2nt dt=πC2nn
4n . 2)Justifier que pour toutu∈]−1,+1[, on a :
√ 1
1−u=
+∞
X
n=0
C2nn
4n un. 3)Montrer que la fonctionf :]−1,1[→Rd´efinie par
f(x) = Z π
0
dt p1−x2sin2t
est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−1,+1[ et donner son d´eveloppement.
1
