Universit´ e de Cergy-Pontoise, Math´ ematiques,
Examen de Probabilit´ e - L3, 4 janvier 2011, dur´ ee 3 heures
Exercice 1. Soitf la fonction d´efinie parf(x) = c 1[0,1](x)e−x.
1) D´eterminer la constantecpour quef soit une densit´e d’une loi de probabilit´e.
2) SoitX une variable al´eatoire suivant une loi admettantf pour densit´e. Calculer l’esp´erance, le variance et la fonction caract´eristique deX.
3) Soit Y une variable al´eatoire de la loi exponentielle du param`etre λ >0, ind´ependante de X. Calculer la densit´e de la variableZ=X+Y.
Exercice 2. On consid`ere une chaˆıne de Markov (Xn) sur l’espace d’´etats{1,2,3,4}avec la matrice de transition
0 0 1 0
1/2 0 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 0
0 0 1 0
1) D´ecrire le graphe associ´e `a la chaˆıne (Xn).
2) Cette chaˆıne de Markov est elle irr´eductible? D´eterminer la p´eriode de chaque ´etat.
3) Calculer la loi invariante.
4) Pour toutn∈N, on noteµn = (αn, βn, γn, εn) la loi de Xn :
P(Xn= 1) =αn, P(Xn= 2) =βn, P(Xn = 3) =γn, P(Xn = 4) =εn
et on suppose queµ0= (1,0,0,0). Calculerµ1et µ2.
5) Formuler le th´eor`eme de Doeblin et v´erifier que la chaˆıne de Markov (Xn) v´erifie ses condi- tions.
6) Calculer les limitesα= limnαn,β = limnβn,γ= limnγn et ε= limnεn
Exercice 3.
(In´egalit´e de Hoeffding pour des variables al´eatoires de Bernoulli) (1) On posef(t) = log(pet+ 1−p).a) Calculerf0(t) et f00(t) et pr´eciserf(0) etf0(0).
b) Montrer quef00(t)≤1/4 pour toutt∈R. c) En d´eduire quef(t)≤pt+t2/8 pour toutt∈R.
(2) SoitX une variable al´eatoire de Bernoulli du param`etrep >0. CalculerE etX
et montrer que pour toutt∈R,
E
et(X−p)
≤ exp t2/8
(3) SoientX1, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes et de la mˆeme loi de Bernoulli du param`etrep >0. On poseSn=X1+· · ·+Xn.
a) V´erifier que pour toutt∈R, E
et(Sn−np)
≤ exp t2n/8
b) Citer l’in´egalit´e de Markov et montrer que pour tousε >0 ett∈R, P
t(Sn−np)> tnε
≤ exp
−εnt+t2n 8
(Indication: Appliquer l’in´egalit´e de Markov `a une variable al´eatoire bien choisie) c) V´erifier que pour toutε >0 ett >0
P(|Sn−np|> nε) ≤ P
(Sn−np)> nε +P
(Sn−np)<−nε
≤ 2 exp
−εnt+t2n 8
d) Trouver minimum de la fonctionh(t) =−εt+t2
8 et en d´eduire que pour tout ε >0, P(|Sn−np|> nε) ≤ 2 exp −2nε2
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