Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

Universit´ es Paris 6, Paris 7, Paris 11, ´ Ecole Polytechnique & ´ Ecole Normale Sup´ erieure Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide

Int´ egrale de chemin – Examen

Lundi 4 Juin 2012

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

Recommandations :

R´ edigez succintement et clairement votre r´ eponse.

Pensez aux informations en annexe.

Bar` eme indicatif :

Exercice 1 : 8 pts. Exercice 2 : 7 pts. Exercice 3 : 5 pts (+ bonus).

1 Constante de diffusion d’un unique chemin brownien

On consid` ere un mouvement brownien libre ~ x(τ ), avec τ ∈ [0, t], en dimension d. La mesure de Wiener associ´ ee ` a une trajectoire est

D~ x(τ ) e ⁻

R

0

dτ

. (1)

On d´ efinit la variable al´ eatoire D t

def

= _t

¹ d

R t

0 dτ ~ x(τ ) ² , qui mesure une

constante de diffu- sion

obtenue par moyenne temporelle ` a partir d’une unique courbe. L’objet de l’exercice est d’en ´ etudier les propri´ et´ es statistiques. On introduit la fonctionnelle du mouvement brownien (adimensionn´ ee)

χ[~ x(τ )]

= D t

D = 1 dDt

Z t 0

dτ

t ~ x(τ ) ² . (2)

1/ On ´ ecrit le propagateur de la diffusion (probabilit´ e conditionnelle) comme P ( X, t| ~ ~ 0, 0) =

Z ~ x(t)= X ~

~ x(0)= ~ 0

D~ x(τ ) e ⁻

^R

^dτ

. (3)

Rappeler ` a quelle ´ equation diff´ erentielle il ob´ eit. Donner son expression explicite.

2/ On note h· · ·i la moyenne sur toutes les courbes browniennes issues de ~ x(0) = ~ 0, pour un temps t, quel que soit le point d’arriv´ ee ~ x(t) = X. V´ ~ erifier que hχ[~ x(τ )]i = 1.

3/ Exprimer la fonction caract´ eristique

Γ(p)

= h e ^{−p χ[~ x(τ )]} i (4) de la fonctionnelle χ[~ x(τ )] ` a l’aide d’une int´ egrale de chemin. Montrer qu’elle se factorise comme d int´ egrales s´ eparables identiques : Γ(p) = [γ (p)] <sup>d</sup> , o` u γ(p) fait intervenir une int´ egrale de chemin sur un mouvement brownien unidimensionnel. Montrer que γ (p) peut ˆ etre ´ ecrit sous la forme

γ (p) = Z

dx h x | e ^−tH

| 0 i (5)

o` u l’on pr´ ecisera l’expression de l’op´ erateur H _p .

4/ Calculer explicitement γ(p) (cf. annexe). Montrer que

Γ(p) = 1

cosh

2 p p/d

. (6)

1

D´ eduire l’expression des deux premiers moments ainsi que la variance de χ[~ x(τ )]. Dans quelle situation la variable al´ eatoire D t donne-t-elle la meilleure estimation de la constante de diffusion D ? Pourquoi ?

5/ On introduit la distribution π 1 (y) =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ π(2n + 1) e ⁻

2

4

(2n+1)

y = 1

√ π y ^3/2

∞

X

n=0

(−1) ⁿ (2n + 1) e ^−(2n+1)

^/4y (7) dont la transform´ ee de Laplace est R ∞

0 dy π 1 (y) e ^−py = 1/ cosh √

p. Exprimer la distribution P (χ) de la fonctionnelle χ[~ x(τ )] en fonction de π ₁ (y) lorsque d = 2. Analyser les comportements limites de P (χ) et tracer soigneusement son allure.

+ Pour en savoir plus

• Les distributions associ´ ees aux dimensions paires ont ´ et´ e calcul´ ees explicitement dans : C. Texier

& C. Hagendorf, Effect of boundaries on the spectrum of a one-dimensional random mass Dirac Hamiltonian, J. Phys. A : Math. Theor. 43, 025002 (2010).

• Une variante du probl` eme consiste ` a consid´ erer la variable D e t

def

= R t 0

dτ t

~ x(τ)

2dτ . Cette version a

´

et´ e consid´ er´ ee dans D. Boyer, D. S. Dean, C. Mej´ıa-Monasterio & G. Oshanin, Optimal estimates of the diffusion coefficient of a single Brownian trajectory, Phys. Rev. E 85, 031136 (2012).

2 Propagateur pour un champ de gravitation

L’objet du probl` eme est de calculer le propagateur de la m´ ecanique quantique K(z, t|z <sub>0</sub> , 0) = h z | e <sup>−iHt</sup> |z <sub>0</sub> i pour H = <sub>2m</sub> <sup>1</sup> p <sup>2</sup> <sub>z</sub> + mgz o` u p _z = −i _dz ^d .

1/ Ecrire le lagrangien ´ L(z, z) et d´ ˙ eduire l’´ equation du mouvement.

2/ Exprimer la solution classique z _class (τ ), pour τ ∈ [0, t], telle que z(0) = z ₀ et z(t) = z ₁ . 3/ Soit S[z] = R t

0 dτ L(z(τ ), z(τ ˙ )). Montrer que l’action de la trajectoire classique est donn´ ee par

S _class (z 1 , t|z ₀ , 0) = m(z 1 − z 0 ) ²

2t − 1

2 mg (z 1 + z 0 ) t − 1

24 mg ² t ³ . (8) Calculer − ^∂S _∂z

0

, ^∂S _∂z

1

et − ^∂S _∂t

et v´ erifier qu’on retrouve les impulsions initiale et finale, ainsi que l’´ energie.

4/ Ecrire le propagateur ´ K (z 1 , t|z ₀ , 0) sous la forme d’une int´ egrale de chemin sur le chemin z(τ ).

Dans l’int´ egrale de chemin, on proc` ede au changement de variable z(τ ) = z c (τ ) + η(τ ), o` u z c (τ ) est une fonction suppos´ ee connue et η(τ ) la nouvelle variable d’int´ egration ( R

Dz −→ R Dη).

Comment choisir z _c (τ ) et quelles conditions doit satisfaire η(τ ) pour que

S[z c + η] = S[z c ] + S 0 [η] , (9) o` u S ₀ [z] est l’action libre (en l’absence de potentiel) ? En d´ eduire l’expression de K(z ₁ , t|z ₀ , 0).

5/ Pourquoi le r´ esultat pr´ ec´ edent co¨ıncide-t-il exactement avec le r´ esultat de l’approximation semiclassique

K semiclassique (z 1 , t|z ₀ , 0) = s

−1 2πi

∂ ² S _class

∂z ₀ ∂z ₁ e ^iS

^(z

^,t|z

^,0) ? (10)

2

3 Polym` ere dirig´ e dans un environnement d´ esordonn´ e

Nous ´ etudions un mod` ele qui a suscit´ e beaucoup d’int´ erˆ et en physique statistique depuis une vingtaine d’ann´ ees : la physique statistique (d’´ equilibre) d’un

polym` ere dirig´ e

dans un espace bidimensionnel, d´ ecrit par une ligne x(τ ) avec τ ∈ [0, t], soumis ` a un potentiel d´ esordonn´ e V (τ, x) (ici τ et x sont des coordonn´ ees associ´ ees ` a deux directions spatiales orthogonales ; le polym` ere est dit

dirig´ e

car on exclut les retours en arri` ere de la ligne). L’´ energie du polym` ere est donn´ ee par un terme ´ elastique et un terme d’´ energie potentielle d´ ecrivant l’interaction du polym` ere avec le milieu d´ esordonn´ e. La fonction de partition du polym` ere prend la forme

Z t (y, 0) =

Z x(t)=y x(0)=0

Dx(τ ) e ⁻

^R

^dτ

2 dx(τ)

dτ

+V (τ,x(τ))

, (11)

o` u T est la temp´ erature. Nous notons · · · la moyenne sur le potentiel d´ esordonn´ e V (τ, x). Ce dernier est distribu´ e par une mesure gaussienne caract´ eris´ ee par V (τ, x) = 0 et la fonction de corr´ elation

V (τ, x)V (τ ⁰ , x ⁰ ) = δ(τ − τ ⁰ ) R(x − x ⁰ ) , (12) locale dans la variable τ et o` u R(x) est une fonction d´ ecroissant vite ` a l’infini.

( x τ ) y

x

0 t

τ

Figure 1 – Un polym` ere dirig´ e dans un espace bidimensionnel est soumis ` a un potentiel d´ esordonn´ e (des impuret´ es repr´ esent´ ees par les croix) susceptible d’accrocher la ligne (le mod` ele peut ´ egalement s’appliquer ` a un probl` eme d’interface). ` A T = 0, la ligne r´ ealise un compromis pour minimiser son ´ energie potentielle, en passant par des minima du potentiel d´ esordonn´ e, tout en ´ evitant les trop fortes distorsions qui g´ en` ereraient une ´ energie ´ elastique importante.

1/ Soit b(τ, x) une fonction connue, exprimer la fonctionnelle caract´ eristique

e ^{R dτ R dx V (τ,x) b(τ,x)} . (13)

Montrer que

e ^{θ R dτ P}

^{V (τ,x}

^(τ)) = exp 1

2 θ ² Z

dτ X

a,b

R(x _a (τ ) − x _b (τ ))

. (14)

2/ Nous consid´ erons les corr´ elations ` a n points de la fonction de partition. Montrer que la fonction de corr´ elation peut s’´ ecrire ` a l’aide de l’int´ egrale de chemin comme

Z _t (y ₁ , 0) Z _t (y ₂ , 0) · · · Z _t (y _n , 0) =

Z x

(t)=y

x

(0)=0

Dx ₁ (τ ) · · ·

Z x

(t)=y

x

(0)=0

Dx _n (τ ) e ^−S[x

^{(τ),···,x}

^(τ)] , (15) o` u l’action S[x 1 , · · · , x n ] d´ ecrit un syst` eme de n particules en interaction sur une ligne.

3/ La fonction de corr´ elation peut ˆ etre ´ ecrite en terme d’un op´ erateur H

Z t (y 1 , 0) Z t (y 2 , 0) · · · Z t (y n , 0) = h y 1 , · · · , y n | e ^−tH | 0, · · · , 0 i (16) Donner l’expression de l’hamiltonien H d´ ecrivant les n particules en interaction.

3

Les derni` eres questions sont facultatives (points en Bonus)

4/ On s’int´ eresse ` a la limite o` u R(x) est ` a tr` es courte port´ ee. Dans ce cas on isolera le terme constant proportionnel ` a R(0) et on proc´ edera ` a la substitution R(x) −→ σ δ(x) dans les termes d’interaction entre particules distinctes apparaissant dans l’action S[x ₁ , · · · , x _n ].

L’´ energie de l’´ etat fondamental | Ω i du mod` ele de Lieb-Lininger pour une interaction attrac- tive, H = − _2m ¹ P n

a=1

∂

∂x

− λ P

16a<b6n δ(x a − x b ), a ´ et´ e calcul´ ee par la technique de l’ansatz de Bethe : ¹ E Ω (n) = − ^mλ ₂₄

n(n ² − 1). D´ eduire l’expression du moment d’ordre n de la fonc- tion de partition Z _t (y, 0) ⁿ dans la limite t → ∞, en fonction des param` etres du probl` eme (la

longueur

du polym` ere t, la temp´ erature T et le d´ esordre σ).

5/ M´ ethode des r´ epliques.– On admet que l’on peut analyser les propri´ et´ es statistiques de l’´ energie libre du polym` ere F = −T ln Z, par prolongement aux n r´ eels du moment

G(n)

= Z ⁿ = e ^{−n F /T} , (17) qui s’interpr` ete comme la fonction g´ en´ eratrice des moments de F (

n

est le param` etre r´ eel conjugu´ e de F ). Par exemple la moyenne est donn´ ee par ln Z = lim _n→0

_∂n ^∂ Z ⁿ ). ` A partir de l’expression de G(n) obtenue dans la limite t → ∞ ` a la question pr´ ec´ edente, d´ eduire les premiers cumulants de F . Comment les fluctuations de F d´ ependent-elles de la longueur t du polym` ere ?

+ Pour en savoir plus

• Un des aspects particuli` erement int´ eressant du mod` ele est l’existence de fluctuations de F pr´ esentant un scaling non trivial avec la longueur du polym` ere. La distribution compl` ete est donn´ ee par la c´ el` ebre loi de Tracy Widom. On pourra consulter l’article de revue :

Victor Dotsenko, Universal randomness, Physics-Uspekhi 54(3), 259–280 (2011).

Annexe : Propagateurs de la m´ ecanique quantique

Propagateur libre

Soit K 0 (z, t|z ₀ , 0)

= h z | e ^−iH

^t | z 0 i avec H 0 = _2m ¹ p ² _z , on rappelle que K 0 (z, t|z ₀ , 0) =

r m

2πit exp i m(z − z 0 ) ²

2 t (18)

Propagateur de l’oscillateur harmonique

Soit H = − _2m ¹ _dx ^d

+ ¹ ₂ mω ² x ² . On rappelle que h x | e ^−tH | x ₀ i =

r mω

2π sinh(ωt) exp − mω 2 sinh(ωt)

cosh(ωt) (x ² + x ² ₀ ) − 2xx ₀

(19)

1

M. Kardar, Replica Bethe ansatz studies of two-dimensional interfaces with quenched random impurities, Nucl.

Phys. B290, 582–602 (1987).

4