UNIVERSIT´E PARIS 6 2005-2006 LM366 : FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Examen du 6 Septembre 2006 Dur´ee : 3 heures
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1 Soit P(z) =!n
k=0akzk un polynˆome de degr´e n. On note C = sup
|z|=1 |P(z)|. Montrer qu’on a :
∀z ∈C, |z| ≥1 ⇒ |P(z)| ≤C|z|n.
(Indication : on pourra consid´erer la fonction Q(z) =znP(1/z).)
Exercice 2
1. Soit 0< r <1< R <+∞. Calculer l’int´egrale : I(r, R) :=
"
γ(r,R)
Logz 1 +z4 dz,
o`u γ(r, R) est le lacet obtenu en parcourant un segment de r `a R, puis un arc de cercle, de centre 0, deR `aiR, puis un segment deiR`air, enfin un arc de cercle, de centre 0, deir `a r.
2. A l’aide du r´esultat pr´ec´edent, calculer les int´egrales :` J :=
" +∞ 0
dx
1 +x4, K :=
" +∞ 0
Logx 1 +x4 dx.
Exercice 3
Soit f : IR→C une fonction de classe C∞. On suppose :
∀x∈IR, ∀n ∈IN, |f(n)(x)| ≤1.
1) Montrer que f est la somme sur IR de sa s´erie de Taylor en 0.
2) Montrer que la formule
F(z) =
+∞
#
n=0
f(n)(0) n! zn
d´efinit une fonction enti`ere, telle que F(x) =f(x) pour tout x r´eel.
3) Montrer que la fonction F v´erifie, pour tout z ∈C , l’in´egalit´e
|F(z)| ≤e|Imz|.
1
2
Probl`eme
Soit F une fonction holomorphe sur C , v´erifiant, pour tout z ∈ C , l’in´egalit´e :
|F(z)| ≤e|Imz|.
1) ´Etant donn´e a ∈C , d´eterminer les pˆoles et les r´esidus de la fonction m´eromorphe
Ga(z) = F(a+z) z2cosz .
2) `A tout entier n∈IN, on associe le carr´e Kn d´efini par Kn={z =x+iy∈C, |x− π
2| ≤ π
2 +nπ, |y| ≤ π
2 +nπ}. On note Γn le bord deKn, orient´e dans le sens direct.
a) D´emontrer l’identit´e, si z =x+iy :
|cosz|2 = cos2x+ sinh2y.
b) En d´eduire l’existence dec > 0, ind´ependant den, tel que :
∀z ∈Γn, |cosz| ≥ce|Imz|. c) Montrer que : "
Γn
Ga(z)dz −−−−→n
→+∞ 0.
3) Montrer que, pour tout a∈C , on a : F#(a) =
#+∞
k=−∞
(−1)k F(a+π/2 +kπ) (π/2 +kπ)2 .
4) En consid´erant le cas particulier F(z) = cosz, calculer la somme de la s´erie
#+∞
k=−∞
1 (π/2 +kπ)2.
5) D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que la fonction F v´erifie :
∀x∈IR, ∀n∈IN, |F(n)(x)| ≤1.
6) (Facultatif.) On suppose de plus F(0) = 1 et F(π/2 +kπ) = 0 pour tout k ∈ZZ. Montrer que F(z) = cosz pour tout z ∈C .
(Indication : on pourra ´etudier la fonctionz )→F(z)/cosz.)
