Universit´e Paris 6 2006-2007- 1`ere session

Universit´e Paris 6 2006-2007- 1`ere session

LM345. Examen du 9/01/07

Dur´ee 2h. Aucun document n’est autoris´e

Question de cours.

1) Enoncer l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebycheff.

2) Enoncer le th´eor`eme Central Limit.

Ci-dessous on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire etE(Z) d´esigne l’esp´erance deZ lorsqu’elle est d´efinie.

Exercice 1. Soitp∈]0,1[. Pour tout entiern≥1, la v.a. Z_n suit la loi binomialeB(n, p).

Montrer que, lorsque n→ +∞, la suite Yn := ^√1_n(Zn−np) converge en loi vers une v.a.

normale de loiN(0, σ²) o`u on d´eterminera σ². Exercice 2. Soit θ >0 fix´e dans cet exercice.

1) SoitP:P(N)→[0,1] d´efinie parP(A) = Σ_k∈Apk o`upk = _1+θ¹ (_1+θ^θ )^k pour tout k ∈N.

Montrer que P est une probabilit´e.

2) Soit X une v.a. `a valeurs dans N de loi P ( c’est-`a-dire que pour tout k ∈N, P(X = k) =pk).

a) Calculer la fonction g´en´eratrice de X.

b) En d´eduireE(X) et Var(X).

3) Soit (X_n, n ∈ N) une suite de v.a. ind´ependantes de mˆeme loi P. On pose T_n :=

1

nΣⁿ_i=1Xi. Montrer que limn→+∞E((Tn−θ)²) = 0. Indication: on pourra remarquer que E(T_n) =θ.

Probl`eme. Sur un espace (Ω,F,P), on consid`ere (Xn, n ∈ N) une suite de v.a. r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi de densit´e f; on suppose que f est strictement positive.

(Un, n ∈ N) une suite de v.a. ind´ependantes, de mˆeme loi uniforme sur [0,1]. La suite (U_n) est ind´ependante de la suite (X_n). On consid`ere ´egalement une densit´e de probabilit´e g sur R. On suppose qu’il existe une constante c≥1 telle que ∀x ∈R, g(x)≤ cf(x). On noteϕ une fonction continue telle que R+∞

−∞ |ϕ(x)|f(x)dx <+∞.

1) a) Pour tout k ∈N, d´eterminer la densit´e du couple (X_k, U_k).

b) Montrer que E(ϕ(Xk)1_{{g(Xk)>cUkf(Xk)}}) = ¹_c R

Rϕ(x)g(x)dx pour tout k ∈N.

2) Montrer que presque sˆurement (p.s.)

n→+∞lim c

nΣⁿ_k=1ϕ(Xk)1_{{g(Xk)>cUkf(Xk)}} = Z

R

ϕ(x)g(x)dx

3) Pour tout k ∈ N, on d´efinit la v.a. Bk de Bernoulli par: Bk(ω) = 1 si g(Xk(ω)) >

cU_k(ω)f(X_k(ω)) et sinon B_k(ω) = 0.

1

a) Montrer que les v.a. B_k sont ind´ependantes

b) CalculerP(Bk = 1). En d´eduire que les v.a. Bk ont la mˆeme loi.

4) Pourn≥1, on d´efinitN_n := min{k ∈N; Σ^k_i=1B_i =n}

a) Montrer que la suite (Nn) est p.s. strictement croissante.

b) Montrer que N_n ∼ cn en +∞ p.s. Indication: on pourra appliquer la loi des grands nombres `a la famille (Bk, k≥1).

5) Pourp∈N^∗, on pose Y_p :=X_Np .

a) Montrer que la v.a. Y1 admet la densit´e g. Indication: on pourra utiliser ϕ(Y1) = Σ_k∈N^∗ ϕ(X_k)1_{N1=k}.

b) Montrer que les v.a. Y1 etY2 sont ind´ependantes et de mˆeme loi.

c) Montrer que les v.a. Y_p, p≥1 sont ind´ependantes et de mˆeme loi. Indication: on pourra utiliser l’ identit´e _(1−x)^p!p+1 = Σ_k≥p k(k−1)(k−2)· · ·(k−p+ 1)x^k−p valable pour tout x∈]−1,1[.

d) Retrouver le r´esultat de la question 2) en utilisant les Yp.

2