Premi` ere in´ egalit´ e

ECS1 H. Boucher 16/10/2020 Devoir surveill´e n^o3 (dur´ee : 4 heures)

Les calculatrices et les documents sont interdits.

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Exercice 1

Dans le plan, on appelle C₁ la courbe repr´esentative de la fonction ln et C₂ la courbe repr´esentative de la fonction exp.

1. Soit a >0 et b∈R.

(a) Donner une ´equation de la tangente `a C<sub>1</sub> en aet une ´equation de la tangente `aC₂ enb.

(b) Montrer qu’il existe une droite tangente `a la fois `a C₁ en aet `aC₂ enb si et seulement si (b+ ln(a) = 0

aln(a)−ln(a)−a−1 = 0 . 2. On d´efinit la fonctiong par l’expressiong(t) =tln(t)−ln(t)−t−1.

(a) Apr`es avoir trouv´eDl’ensemble de d´efinition et de d´erivabilit´e deg, faire l’´etude de ses variations sur ]0,1[.

(b) En d´eduire qu’il existe un uniqueα ∈]0,1[ tel queg(α) = 0.

(c) Pour toutx >0, d´eterminer une relation simple entreg(x) et g 1

x

. (d) En d´eduire le nombre de solutions surD de l’´equation g(x) = 0.

3. Les courbesC₁etC₂admettent-elles des tangentes communes ? Si oui, combien ? Donner une illustration graphique de ces r´esultats.

Probl`eme 1

Soit p,q∈Rtels que p >1,q >1 et 1 p +1

q = 1.

Soitn∈N^∗ et soit a₁,a₂, . . . , a_net b₁,b₂, . . . , b_n des r´eels positifs. Le but du probl`eme est de montrer que

n

X

k=1

akbk6

n

X

k=1

a^p_k

!¹

p n

X

k=1

b^q_k

!¹

q

.

1. Si les nombres a_k sont tous nuls ou si lesb_k sont tous nuls, justifier l’in´egalit´e recherch´ee.

On suppose dans la suite que les a_k ne sont pas tous nuls et que les b_k ne sont pas tous nuls. On pose alorsA=

n

X

k=1

a^p_k etB=

n

X

k=1

b^q_k.

2. Pour a,b∈R+, on d´efinit f :x7→ax−a^p p −x^q

q .

(a) ´Etudierf jusqu’`a obtenir un tableau de variations complet.

1

(b) En d´eduire queab6 a^p p +b^q

q .

3. Cas particulier : on suppose (dans cette question seulement) que A = B = 1. Montrer alors que

n

X

k=1

a_kb_k61.

4. Cas g´en´eral (sans hypoth`ese particuli`ere sur A etB).

(a) On d´efinit pour tout k :uk= ak

A^1/p etvk= bk

B^1/q. Calculer

n

X

k=1

uk et

n

X

k=1

vk. (b) Conclure en ´etablissant l’in´egalit´e voulue.

Probl`eme 2

Soit f la fonction d´efinie par f :x7→ −xln(x)−(1−x) ln(1−x).

Prolongement

1. Justifier quef est d´efinie sur ]0,1[.

2. Calculer lim

x→0f(x) et lim

x→1f(x). En d´eduire un prolongement de f `a l’intervalle [0,1].

Premi` ere in´ egalit´ e

Soit g la fonction d´efinie sur ]0,1[ parg:x7→ln(1−x)−ln(x).

3. D´eterminer les x∈]0,1[ tels que g(x) = 0 et en d´eduire le signe deg(x) en fonction de x.

4. Montrer que pour toutx∈[0,1],f(x) =f(1−x) et donner une interpr´etation graphique de ce r´esultat.

5. (a) Justifier quef est d´erivable sur ]0,1[ et donner une expression de sa d´eriv´ee.

(b) D´eterminer lim

x→0⁺

f(x)

x . Qu’en d´eduisez-vous quant `a la d´erivabilit´e de f en 0 ? Donner une in- terpr´etation graphique de ce r´esultat.

(c) ´Etablir le tableau de variations complet de f.

6. Soit a,b∈R^∗+ tels quea+b= 1.

(a) `A l’aide des questions pr´ec´edentes, montrer quealn 1

a

+bln 1

b

6ln(2).

(b) Pour quelles valeurs deaetb a-t-on l’´egalit´e aln 1

a

+bln 1

b

= ln(2) ?

G´ en´ eralisation

Soit p>2 un entier naturel.

Pour tous nombres r´eelsa₁,a₂, . . . , a_p tels que

p

X

i=1

a_i = 1, on noteS_p =

p

X

i=1

a_iln 1

a_i

. 7. (a) ´Etudier sur R^∗+ le signe de ln(t)−(t−1).

2

(b) En d´eduire que pour tout 16i6p,ailn 1

pa_i

6 1

p −ai et pr´eciser pour quelle(s) valeur(s) de a_i on a ´egalit´e.

8. (a) Montrer queSp−ln(p) =

p

X

i=1

ailn 1

pai

. (b) En d´eduire l’in´egalit´e :S_p 6ln(p).

(c) Pour quelles valeurs dea₁,a₂, . . . , a_p a-t-on l’´egalit´e S_p= ln(p) ? Probl`eme 3 (Formules d’Arctan)

A Pr´ eliminaires

On rappelle l’existence de la fonction tangente, d´efinie sur Dtan =R\nπ

2 +kπ, k∈Z o

par tan = sin cos. On rappelle ´egalement que tan r´ealise une bijection croissante dei

−π 2,π

2 h

dansR, ce qui conduit `a l’existence d’une bijection r´eciproque, not´ee Arctan :R→i

−π 2,π

2 h

.

1. Montrer que pour tousa,b∈D_tan tels que tan(a) tan(b)6= 1, tan(a+b) = tan(a) + tan(b)

1−tan(a) tan(b).

2. Justifier que Arctan est d´erivable sur Ret que pour tout x∈R, Arctan⁰(x) = 1 1 +x². 3. Soit g:x7→Arctan(x) + Arctan

1 x

.

(a) Justifier queg est d´efinie et d´erivable sur R^∗ puis exprimer sa d´eriv´ee.

(b) En d´eduire la valeur de Arctan(x) + Arctan 1

x

pour toutx∈R^∗.

B Une ´ egalit´ e

La formule donnant tan(a+b) (ci-dessus) laisse esp´erer une relation du type Arctan(x) + Arctan(y) = Arctan

x+y 1−xy

. (1)

Le but de la suite de ce probl`eme est de d´eterminer pour quelles valeurs dex ety cette ´egalit´e est vraie (on dira alors que(x,y) v´erifie l’´egalit´e (1)).

4. Six= 0 ou y= 0, montrer que (1) est toujours vraie.

5. Montrer que (x,y) v´erifie (1) si et seulement si (−x,−y) v´erifie (1).

6. Dans cette question (et seulement l`a), on fixe (x,y)∈R² v´erifiant (1) avecx >0 et y6= 0.

(a) Montrer que la tangente de Arctan(x) + Arctan(y) n’est pas d´efinie si y = 1

x. Justifier que si y6= 1

x, alors tan(Arctan(x) + Arctan(y)) est bien d´efini.

3

(b) Dans ce cas montrer que

tan(Arctan(x) + Arctan(y)) = x+y 1−xy. (c) En d´eduire que

Arctan(x) + Arctan(y)< π

2 ⇔y < 1 x.

(d) En d´eduire les couples (x,y) v´erifiant l’´equation (1) dans le cas o`ux >0 (ety 6= 0).

7. D´eterminer finalement l’ensemble des couples de r´eels (x,y) v´erifiant (1).

C Autre m´ ethode

Il s’agit ici de retrouver les r´esultats de la partie pr´ec´edente (donc ne pas les utiliser).

Soit a∈R^∗. On pose (seulement dans cette partie) : f :x7→Arctan

x+a 1−ax

. 8. D´eterminer l’ensemble D_f de d´efinition et de d´erivabilit´e def. 9. Calculer la d´eriv´ee def.

10. En d´eduire une expression simple def (on pourra distinguer plusieurs cas suivant les intervalles et les valeurs deaconsid´er´es).

11. En d´eduire l’ensemble des couples (x,y) v´erifiant (1).

12. Dans les cas o`u le couple (x,y) ne v´erifie pas (1), d´eterminer une autre relation du mˆeme type.

D Probl` eme inverse

Dans cette partie, on cherche les fonctions f d´efinies et d´erivables sur I (avecI un intervalle ouvert de Rcontenant 0) qui v´erifient

f(x) +f(y) =f

x+y 1−xy

. Soit f une fonction qui v´erifie ces hypoth`eses.

13. Calculer f(0).

14. Soit a∈I avec a6= 0.

(a) D´eterminer λ >0 tel que pour touth∈[−λ, λ], l’´equation a+h= a+y

1−ay

(d’inconnue y) admette exactement une solution. On note y(h) cette derni`ere.

(b) Montrer queh7→y(h) est d´erivable sur [−λ,λ]. Calculer alorsy(0) ety⁰(0).

(c) Exprimer f⁰(a) en fonction deaetf⁰(0).

(d) Montrer qu’il existe une constante k∈Rtelle que

∀x∈I, f(x) =kArctan(x).

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