On consid`ere la transformation f =sn◦sn−1

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2012-2013

Master de Math´ematiques MME09, Alg`ebre-G´eom´etrie 2

Professeurs : ´E. Balandraud, C. Demarche

Concours blanc du 20 mars 2013 8h30-13h30

Ce concours blanc est constitu´e d’un exercice et deux probl`emes, tous ind´ependants les uns des autres.

Exercice 1 Dans le plan affine, on consid`ere n points A<sub>1</sub>, . . . A<sub>n</sub>. Le but de l’exercice consiste `a d´eterminer, si cela est possible, des points B1, . . . , Bn tels que Ai soit le milieu de [BiBi+1] (avec B_n+1 =B₁).

1. On consid`ere si la sym´etrie centrale autour du pointAi. Montrer que la transformation affine s_i+1◦s_i est une translation dont on d´eterminera le vecteur.

2. On consid`ere la transformation f =s_n◦sn−1◦ · · · ◦s₂◦s₁. Montrer qu’il existe une famille de npoints B₁, . . . B_n tels queA_i soit le milieu de [B_iB_i+1] (avecB_n+1 =B₁) si et seulement si le point B1 est un point fixe pourf.

3. Sinest pair montrer quef est une translation de vecteur

~v= 2

n/2

X

i=1

−−−−−−→

A2i−1A_2i.

Suivant la valeur de ~v, combien y a-t-il de solutions ? Montrer que~v est nul si et seulement si les deux ensembles{A_2i |i= 1..n/2}et{A2i−1 |i= 1..n/2} ont le mˆeme barycentre.

4. Sin est impair, quelle est la nature de f, combien de solution y a-t-il ? Expliquer comment on peut retrouver une solution `a partir d’un pointM quelconque et de son image f(M).

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