Exercice 1. On consid` ere les applications f :

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UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 8

Exercice 1. On consid` ere les applications f :

R

³

→ R

²

(x, y, z) 7→ (x + y, x − z) et g :

R

²

→ R

³

(x, y) 7→ (x + 2y, 3x − y, x + y)

Donner les matrices de f et g dans les bases canoniques de R

²

et R

³

. Donner les matrices de f ◦ g et g ◦ f dans les bases canoniques de R

²

et R

³

.

Exercice 2. Soit h l’homomorphisme de R

³

dans R

²

d´ efini par rapport ` a deux bases (e

1

, e

2

, e

3

) et (f

1

, f

2

) par la matrice A =

2 −1 1

3 2 −3

. a) On prend dans R

³

la nouvelle base :

e

⁰₁

= e

2

+ e

3

, e

⁰₂

= e

3

+ e

1

, e

⁰₃

= e

1

+ e

2

. Quelle est la nouvelle matrice A

1

de h ?

b) On choisit pour base de R

²

les vecteurs : f

₁⁰

= 1

2 (f

1

+ f

2

), f

₂⁰

= 1

2 (f

1

− f

2

)

en conservant la base (e

⁰₁

, e

⁰₂

, e

⁰₃

) de R

³

. Quelle est la nouvelle matrice A

₂

de h ?

Exercice 3. Soit (e

₁

, e

₂

, e

₃

) la base canonique de R

³

. On d´ esigne avec Id

_R3

l’application iden- tique de E. On consid` ere l’application linaire f de R

³

dans R

³

telle que :

f (e

₁

) = 2e

₂

+ 3e

₃

, f (e

₂

) = 2e

₁

− 5e

₂

− 8e

₃

, f (e

₃

) = −e

₁

+ 4e

₂

+ 6e

₃

. a) ´ Etudier le sous-espace ker(f − Id

_R3

) : dimension, base.

b) ´ Etudier le sous-espace ker(f

²

+ Id

_R3

) : dimension, base.

c) Montrer que la r´ eunion des bases pr´ ec´ edentes constitue une base de R

³

. Quelle est la matrice de f dans cette nouvelle base ? Et celle de f

²

:= f ◦ f ?

Exercice 4. On consid` ere les deux sous-espaces vectoriels de R

³

: E

1

= {(x, y, z) ∈ R

³

, 3x − 2y + 3z = 0}

et E

2

= {(x, y, z) ∈ R

³

, x + 3y − z = 0 et 3x + 3y + z = 0}.

a) Trouver des bases B

1

et B

2

de E

1

et E

2

respectivement. En d´ eduire que E

1

⊕ E

2

= R

³

.

b) On appelle s l’application lin´ eaire de R

³

dont la matrice dans la base B = (B

1

, B

2

) est

S =





1 0 0

0 1 0

0 0 −1



 .

1

(2)

s est la r´ eflexion par rapport ` a E

1

le long de E

2

. ´ Ecrire sa matrice dans la base canonique de R

³

.

c) D´ eterminer ker(s − id

_R³

) et ker(s + id

_R³

).

d) On consid` ere l’application lin´ eaire

f : R

³

−→ R

³



 x y z



 7−→





28x − 20y + 36z 30x − 20y + 42z

−4x + 4y − 4z



 .

f et s commutent-ils, c’est-` a-dire est-ce que on a f ◦ s = s ◦ f ?

Exercice 5. Pour chacune des paires de matrices (A, B) suivantes, dire parmi les op´ erations AB et BA celles qui sont d´ efinies, et les effectuer.

a)

A =

3 1 0

−1 1 2

et B =





−1 0 1 3

3 −2 1 −1

0 4 −3 2





b)

A =







1 3

−2 1

2 −3

−1 0







et B =





2 1 0 3

−2 2 3 −1

0 1 −3 2





c)

A =

1 3

−2 1

et B =

−1 −3

2 0

d)

A =

3 0 −1

−2 1 −3

et B =



 2 −1 3 −1

3 2





Exercice 6. Soient x et y deux param` etres r´ eels. Soient A et X les matrices A =

1 −1

2 1

, X =

x y 1 1

.

D´ eterminer pour quelles valeurs de x et y on a AX = XA.

Exercice 7. Soient

A =







0 1 . . . 0 .. . . . . . . . .. . .. . . . . 1 0 . . . . . . 0







et B =







0 . . . 0 1

.. . 0

0 .. .

1 0 . . . 0





 .

Calculer A

^p

et B

^p

pour p ∈ N .

2