Universit´e Paris 6 2006-2007 2nde session

Universit´e Paris 6 2006-2007 2nde session

LM345. Examen du 30/01/07 Dur´ee 2h. Aucun document n’est autoris´e

Question de cours.

1) a) Donner la d´efinition d’une fonction de r´epartition.

b) Enoncer les quatre propri´et´es qui caract´erisent une fonction de r´epartition.

2) Enoncer la loi forte des grands nombres.

Ci-dessous on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire etE(Z) d´esigne l’esp´erance deZ lorsqu’elle est d´efinie.

Exercice 1. (Xn, n∈N^∗) est une suite de v.a. r´eelles, ind´ependantes et de mˆeme loi, de carr´e int´egrable. On pose σ² =V ar(X₁). On d´efinit les v.a. suivantes:

Un := 1

nΣⁿ_k=1Xk et Vn := 1

nΣⁿ_k=1(Xk−Un)² 1) Montrer que Σⁿ_k=1(X_k−U_n)² = Σⁿ_k=1X_k²−nU_n².

2) Montrer que la suite (Vn) converge presque sˆurement vers la constante σ² quand n → +∞.

Exercice 2. Soit X et Z deux v.a. ind´ependantes. X est `a valeurs dans [0,+∞[ de densit´ef et Z suit la loi uniforme sur [0,1]. On d´efinit Y1 :=XZ et Y2 :=X(1−Z).

1) Quelle est la densit´e du couple (X, Z)?

2) D´eterminer la densit´e du couple (Y1, Y2) puis celle de Y1 et celle de Y2. Exercice 3.

1) Quelles conditions doit v´erifier le r´eelθ pour que la fonctionfθ(x) := (1−θ)1_]−¹

2,0](x) + (1 +θ)1_]0,¹

2](x) soit une densit´e de probabilit´e sur R?

2) Dor´enavant on suppose que θ satisfait les conditions de la question 1) et que de plus θ /∈ {−1,1}. On consid`ere (X_i, i ≥ 1) une suite de v.a. ind´ependantes de mˆeme densit´e fθ. Pour n≥1, on pose Yn := Σⁿ_i=11_]−¹

2,0](Xi).

a) Montrer que la v.a. Yn suit une loi binomialeB(n, p) dont on d´eterminera le param`etre p en fonction de θ.

b) Montrer que la suite de v.a. (^Y_nⁿ) converge p.s. vers la constante ¹₂(1−θ) lorsque n→+∞.

3) a) SoitZn :=√

n(^Y_nⁿ − ¹₂(1−θ)). Montrer que, lorsque n→+∞, la suite de v.a. (Zn) converge en loi vers une v.a. de loi normale N(0, σ²) o`u on d´eterminera σ².

b) On d´efinitθn:= 1−2^Y_nⁿ. Montrer que, lorsquen→+∞, la suite (√

n(θn−θ)) converge en loi vers une v.a. de loi normaleN(0,(1−θ²)).

1

Probl`eme 1) Soit L<sub>λ</sub> une v.a. qui suit la loi exponentielle de param`etre λ > 0.

a) Calculer la fonction de r´epartition de Lλ.

b) Montrer que la fonction de r´epartition deL_λ est continue sur R.

Dor´enavant (X_n, n∈N^∗) d´esigne une suite de v.a. r´eelles, ind´ependantes et de mˆeme loi.

F d´esigne la fonction de r´epartition deX1. Pourn≥1, on d´efinitMn := min(X1,·,·,·, Xn).

2) D´eterminer la fonction de r´epartition denM_n en fonction deF. Indication: commencer par calculerP(nMn> x).

3) On suppose dans cette question que lesX_n suivent la loi exponentielle de param`etre 1.

Montrer que pour tout n≥1, les v.a. nMn et L1 ont la mˆeme loi .

4) Dans cette question lesX_n suivent la loi uniforme sur [0,1]. Montrer que la suite (nM_n) converge en loi vers une v.a. Lλ dont on d´eterminera le param`etre λ.

5) On suppose dans cette question que les X_n poss`edent la mˆeme densit´e f nulle sur ]− ∞,0[, continue `a droite en 0 et telle que f(0)>0.

a) Montrer que pour tout x > 0 fix´e, F(_n^x) = f(0)^x_n + (n) o`u lim_n→+∞n(n) = 0.

Indication: pour ce faire, on ´etudiera avec soin lim_n→+∞nR ^x_n

0 (f(u)−f(0))du.

b) Montrer que la suite (nMn) converge en loi vers une v.a. Lλ dont on d´eterminera le param`etre λ.

2