a) Donner la d´efinition de ” la suite (Xn) converge en loi versX.” b) Enoncer la caract´erisation de la convergence en loi `a l’aide des fonctions de r´epartition

UPMC 2008/2009 Licence L3

LM 345 1`ere session

Examen du 12 D´ecembre 2008 Dur´ee 2h

Sans documents ni calculatrice ni portable

Notations : Dans tout l’ ´enonc´e on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire. N est l’ensemble des entiers naturels, Rcelui des r´eels.

Question de Cours.

1) Enoncer la loi des grands nombres.

2) X etX_n, n∈N d´esignent des v.a.

a) Donner la d´efinition de ” la suite (X_n) converge en loi versX.”

b) Enoncer la caract´erisation de la convergence en loi `a l’aide des fonctions de r´epartition.

Exercice 1. (X_k)k≥1 d´esigne une suite de v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi. On note F leur fonction de r´epartition commune et on d´efinit M_n :=

sup(X₁, X₂,· · ·, X_n).

1) Montrer que pour tout entier n ≥1 et tout r´eel x, P(M_n ≤x) =Fⁿ(x).

2) Montrer que pour tout entier n ≥1 fix´e et pourx au voisinage de +∞, P(M_n ≤x)∼e^{−n(1−F(x))}

3) SoitU une variable suivant la loi uniforme sur [−1,0]. Calculer la fonction de r´epartition deU.

4) Soit G la fonction d´efinie sur R par : G(x) = e^x si x ≤ 0 et G(x) = 1 si x≥0. Montrer queGest la fonction de r´epartition d’une v.a. qu’on noteX.

Indication : toute fonctionG:R→[0,1] croissante, continue `a droite et telle que lim−∞G= 0 et lim+∞G= 1 est la fonction de r´epartition d’une v.a.

5) On suppose que (Xn)n≥1 est une suite de v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi uniforme sur [−1,0]. Montrer que la suite de v.a. (nM_n) converge en loi vers X lorsque n →+∞.

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Exercice 2. Soit a >0 et b > 0 deux r´eels. On dit qu’une v.a. X suit la loi gamma de param`etres a et b siX a pour densit´e

γ^a,b(x) := 1

b^aΓ(a)x^a−1e^−xb1_x>0

o`u Γ d´esigne la fonction qui `a tout r´eel x >0 associe Γ(x) = R+∞

0 t^x−1e^−tdt.

Rappel : la fonction Γ a les propri´et´es suivantes :

pour tout r´eel a > 0, Γ(a+ 1) = aΓ(a) et pour tout entier n ≥ 1, Γ(n) = (n−1)!

pour tous r´eels r >0, s >0, R1

0 x^r−1(1−x)^s−1dx= ^Γ(r)Γ(s)_Γ(r+s) .

1) Calculer en fonction de a et b, l’ esp´erance et la variance deX lorsque X suit la loi gamma de param`etres a et b.

2) SoientX etY deux v.a. ind´ependantes de densit´es respectivesγ^a,1 etγ^α,1. Montrer que la v.a. X+Y admet la densit´e γ^a+α,1.

3) On consid`ere une suite (Xn) de v.a. telle que pour tout entier n ≥ 1, la v.a. X_n admet la densit´e γ^n,1. Montrer que la suite de v.a. ^(X√n−n)_n converge en loi vers une v.a. de loi N(0,1) lorsque n→+∞.

4) Pour tout entier n ≥1, on d´efinit Zn:= ^(Xn+1√_n+1⁻ⁿ⁻¹⁾. On note fn la densit´e de la v.a. X_n+1 etg_n la densit´e de Z_n.

a) Exprimer g_n en fonction de f_n. b) Montrer que g_n(x) = m_np_n(x)(^nne−n

√2πn

n! ) o`u on a pos´e : m_n= 1

e(1 + 1 n)

nr n+ 1

n pn(x) = 1

√2πe^−x

√n+1

(1 + x

√n+ 1)ⁿ1_{x>−^√_n+1}

5) Utiliser les questions pr´ec´edentes pour montrer que

n→+∞lim

nⁿe⁻ⁿ√ 2πn n! = 1 Indication : on pourra suivre le plan suivant : a) Pour tout r´eel a, d´eterminer lim_n→+∞Ra

−∞g_n(x)dx.

b) Montrer que limn→+∞m_n = 1 c) Montrer que limk→+∞klog(1 +^√x

k)−x√

k =−^x₂² d) Montrer que pour tout r´eel a, lim_n→+∞Ra

−∞p_n(x) = ^√1

2π

Ra

−∞e^−x

2 2 dx e) Conclure.

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