Université Paris 6– Licence de Mathématiques– Module L346 – Corrigé de l’examen du 29 mai 2008–Durée 2h– Le polycopié et les notes de cours sont autorisés.
Exercice 1
1.a.) On a Z = 1(U,V)∈Γ où Γ ⊂ [0,1]×[0,1] est l’ensemble des (x, y) tels que y < f(x). Le vecteur aléatoire (U, V) est uniformément réparti dans [0,1]×[0,1].Z qui prend ses valeurs dans{0,1}est donc une loi de Bernoulli de paramètre p=P(Z = 1) =R1
0 h(x)dx. On a donc E(Z) =p etVar(Z) = p(1−p)(pour la suite on note que pour toutpon aσ := (Var(Z))1/2 ≤1/2).
1.b) Il suffit de définir Zk = 1(Uk<f(Vk)). Les v.a (Zk)k≥1 sont indépen- dantes et suivent une même loi de Bernoulli de paramètre p. D’après la loi des grands nombres la suite Mn := (1/n)(Z1 +· +Zn) converge p.s vers E(Z) =R1
0 f(x)dx. D’après le théorèmeCentral Limit on a
n→∞lim P
|Mn− Z 1
0
f(x)dx| ≥ aσ
√n
= 1
√2π Z a
−a
e−x2/2dx.
Pourn suffisamment grand eta≈1.96on sait que cette intégrale vaut à peu près 0.95. Pour avoir une approximation à 10−3-près il suffit donc de choisir n de l’ordre de (1960·σ)2. Comme σ ≤ 1/2, il suffit de choisir n de l’ordre de 106.
2. La méthode du rejet permet de construire une suite de v.a (Wk)k≥1 in- dépendantes de même loi ayant pour densité g. Il suffit pour cela de défi- nir ν1 = inf{l ≥ 1 : Vl ≤ g(Ul)} et par récurrence νk = inf{l > νk−1 : Vl ≤ g(Ul)} puis Wk = Uνk. D’après la loi des grands nombres la suite Tn= (1/n)(W1+. . .+Wn)converge p.s versE(W1) = R1
0 xg(x)dx. La variance τ2deW1 vautE(W12)−(E(W1))2c’est-à)direR1
0 x2g(x)dx−
R1
0 xg(x)dx 2
et dans tous les cas est inférieure à R1
0 x2g(x)dx≤R1
0 g(x)dx = 1. Le théorème Central Limit donne
n→∞lim P
|Tn− Z 1
0
xg(x)dx| ≥ τ a
√n
= 1
√2π Z a
−a
e−x2/2dx
et si on choisita≈1.96on voit qu’il suffit de choisirnde l’ordre de(2·103)2 = 4·106 pour obtenir le résultat désiré.
3. On pose h(x) = xg(x); la méthode de la question 1 donne n de l’ordre de 106 et nécessite 2n≈2·106 appels à la fonction "random". La deuxième méthode nécessite n de l’ordre de 4· 106 ce qui impose 2nE(ν1) appels à la fonction "random" ; l’espérance de ν1 est l’aire du rectangle contenant le
1
graphe de g qui est nécessairement strictement plus grande que 1, si bien que le nombre d’appels à la fonction "random" est plus grand que 8·106. Sur cette exemple la première méthode est donc plus efficace.
Exercice 2 La fonction de répartition F(x) = Rx
−∞3t21[0,1](t)dt égale 0 si x < 0, x3 si 0 < x < 1 et 1 si x ≥ 1. On voit que pour u ∈ [0,1], G(u) = infF−1([u,∞[) =u1/3. SiU est une loi uniforme sur[0,1]on sait que U1/3 = G(U)admet F pour fonction de répartition et donc F0 pour densité.
SiUnest une suite de v.a iid de loi uniforme sur[0,1], la suiteUn1/3 répond à la question.
Exercice 3
1. 1.a) C’est évident
1.b) Il s’agit de calculerP(Xn+3 ∈ {1,2}|Xn+1 = 1) = (P2)11+(P2)12= 0,61.
2) On voit facilement que le graphe associé à la chaîne est fortement connexe et il n’y a donc qu’une seule classe. On peut aussi constater que P2 a tous ses coefficients > 0. La chaîne est donc irréductible et comme elle est finie elle est récurrente puisqu’on sait dans ce cas qu’il y a toujours un élément (donc une classe) récurrent(e).
3) Cet événement est Xn = 1 une infinité de fois. Comme 1 est récurrent (puisque d’après la question précédente tout élément est récurrent) on sait que cet événement est de probabilité 1.
4) Oui car les coefficients de P2 sont strictement positifs.
5) On sait qu’il existe toujours une loi stationnaire. En outre, si la chaîne est irréductible elle est unique. Il s’agit de résoudre µP =µ. On trouve
µ= (1/4,3/20,3/20,9/20).
6) On appelle φ :E → {0,1} définie pour e = (e0, e1) ∈ E par (φ(e) = 1 si e1 = 1. On a
BN =
N
X
k=1
φ(Xk)
et le théorème ergodique nous dit queBN/N converge p.s versP
i∈Eφ(i)µ(i) = µ(3) +µ(4) = 12/20 = 3/5.
2
