a) Si | z | = 1/ | z | , alors | z |² = 1 ; soit | z | = 1 ; donc, si z = x + iy , alors x² + y² = 1 ;

CORRECTION DEVOIR MAISON N° 5 TERMINALE S 3 EXERCICE 1

a) Si | z | = 1/ | z | , alors | z |² = 1 ; soit | z | = 1 ; donc, si z = x + iy , alors x² + y² = 1 ;

et |1 - z |² = (1 - x)² + y² = 1 + x² - 2x + y² = 2 - 2x = | z |² = 1 ; donc x = ½ et y = ±

³2

. Ainsi les nombres complexes z non nuls, tels que z , 1/z et 1 - z ont le même module sont les nombres 1 3

2 + i

et 1 3 2

− i . b) On a z = 1 et z ≠ 1 ; si z = x + iy , alors x² + y² = 1 ; alors 1 1 1 1

1 1 1 1

z x iy ( x iy )( x iy ) z x iy ( x iy )( x iy ) + = + + = + + − + =

− − − − − − +

2 2

2 2

1 2 2 2

1 2 2 2 2

x y iy iy y

( x ) y x x i

− − + = =

− + − − est imaginaire pur.

EXERCICE 2

a)L’équation (E) : x

³

= 3 x + 1 est équivalente à l’équation x

³

− 3 x − = 1 0 . Posons g( x ) x =

³

− 3 x − 1 ; la fonction g est dérivable sur IR comme polynôme du troisième degré. On a g'( x ) = 3 x

²

− = 3 3 ( x − 1 )( x + 1 ) ; d’où le tableau de variations :

La fonction g est continue et strictement croissante de ]-∞ ; -1] dans ]-∞ ; 1] et 0 ∈ ]-∞ ; 1], donc l’équation g(x) = 0 a une solution dans ]-∞ ; -1[ ; comme g(-2) = -3, la solution est dans ]-2 ; -1[ ; de même, il existe une solution dans l’intervalle ]-1 ; 1[ et dans l’intervalle ]1 ; 2 [.

Donc l’équation (E) a bien trois solutions dans IR , ces solutions sont dans ]-2 ; 2[ . Des valeurs approchées sont -1,532 ; -0,347 ; 1,879.

b) La fonction f définie par f(u) = 2sin(u) est la composée de la fonction sinus et de la fonction : x |-> 2x , ces deux fonctions sont croissantes sur [

2 2 π π ;

− ], donc f est croissante de [ 2 2 π π ;

− ] dans [ -2 ; 2].

c) On utilise les formules d’addition des sinus et cosinus :

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb et sin(a + b) = cosasinb + cosbsina.

D’où sin(3u) = sin(2u + u) = cos(2u)sinu + sin(2u)cosu = (cos²u - sin²u)sinu + cosu(2cosusinu) = 3cos²usinu - sin

³

u = 3(1 - sin²u)sinu - sin

³

u = 3sinu - 4sin

³

u .

d) En posant x = 2sinu, il vient x

³

− 3 x − = 1 8 sin u

³

− 6 sinu − = 1 2 4 ( sin u

³

− 3 sinu ) − = − 1 2 sin( u ) 3 − 1 ; comme les solutions de (E) sont dans ]-2 ; 2[ , alors (E) est équivalente à (E’) : 1 + 2sin(3u) = 0, avec u dans ]

2 2 π π ;

− [.

e) De 1 + 2sin(3u) = 0, on tire sin(3u) =- ½ , d’où 3 u = - 6

π [2π], ou 3u = 6

π − π [2π] ; avec u dans ] 2 2 π π ;

− [.

soit u = - 18

π _[ 2 3

π ], ou u = - 5 18

π _[ 2 3

π ] . Les solutions sont donc 5 7

18 18 18

{ ₋ π , ₋ π π , } . Ainsi les valeurs exactes des trois

solutions de (E) sont 2 2 5 2 7

18 18 18

{ sin( − π ), sin( − π ), sin( π )}

. EXERCICE 3

a) On a z² = (a + ib)² = a² - b² + 2ib ; donc Re( z ) a

²

=

²

− b

²

et comme le module de z est égale à 1, a² + b² = 1 ; de Re( z ) a

²

=

²

− b

²

et a² + b² = 1, on tire 2a² = 1 + Re(z²) , et 2b² = 1 - Re(z²) ,

donc

²

1

²

2 Re( z )

a = + et

²

1

²

2 Re( z )

b = − .

b) Si

a cos( ) ₌ π 8 _et

b s in( ) ₌ π 8 _{, alors}

i8

z e =

^π

, d’où

2

2 i8 i4

z =    e

^π

   = e

^π

=

4 4

cos π ₊ i sin π . En utilisant la première

question, il vient

²

1

²

2 Re( z )

a = + =

1 4 1 2 2 2 2

2 2 4

cos π

+ = + = + et

²

1

²

2 Re( z )

b = − = 1 4 2 2

2 4

s in π

− = − ;

ainsi 2 2 2 2

8 4 2

cos( ) π = + = + et 2 2 2 2

8 4 2

s in( ) π = − = − .

x -∞ -1 1 +∞

g ’(x) + 0 - 0 +

g(x) -∞

1

-3

+∞