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1. Donner la d´ efinition de : (a) une norme sur R

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Academic year: 2022

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(1)

2017-2018 MAT303–UGA

Interrogation 1

La clart´ e de la r´ edaction sera prise en compte. Les r´ eponses aux exercices doivent ˆ etre jus- tifi´ ees.

Questions de cours. Soit n ∈ N.

1. Donner la d´ efinition de : (a) une norme sur R

n

;

(b) la boule unit´ e ouverte de R

n

pour une norme N donn´ ee ; (c) un ouvert de R

n

muni d’une norme N ;

(d) un ferm´ e de R

n

muni d’une norme N .

On donnera pour chacun un exemple dans le cas n = 2.

2. Soit N une norme sur R

n

et r > 0. Montrer que la boule ouverte B

N

(0, r) est un ouvert de R

n

.

Exercice 1 : Soit f : R

2

→ R l’application d´ efinie par : ∀(x, y) ∈ R

2

, f (x, y) = |y − sin(x)|.

Repr´ esenter f

−1

(] − ∞, 1[). Cet ensemble est-il ferm´ e ? Born´ e ?

Exercice 2 : D´ eterminer la plus petite constante C > 0 telle que k.k

≤ Ck.k

1

dans R

2

.

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