R` eglement – L’´ epreuve dure 2 heures. Les calculatrices sont interdites. Les t´ el´ ephones portables doivent ˆ etre

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2 EXAMEN FINAL 1` ere SESSION – Jeudi 11 mai 2017

R` eglement – L’´ epreuve dure 2 heures. Les calculatrices sont interdites. Les t´ el´ ephones portables doivent ˆ etre

´

eteints. Il est admis de consulter le formulaire distribu´ e en cours et des notes personnelles qui tiennent sur une page recto-verso.

Les questions 1–5 ont une seule bonne r´ eponse, qui vaut 1 point. Indiquer les r´ eponses par leur lettre correspondante, en indiquant bien la question (dans l’ordre 1 ` a 5), dans la premi` ere page de la copie d’examen.

Pour les autres exercices, le bar` eme est indiqu´ e entre parenth` eses et la r´ eponse doit ˆ etre justifi´ ee.

Question 1 – Soit f (x, y) une fonction de deux variables, avec d´ eriv´ ees partielles ∂f

∂x et ∂f

∂y . La d´ eriv´ ee dF

dt (t) de la fonction F (t) = f t

, t

se calcule comme

(a) t

∂f

∂x (x, y)+t

∂f

∂y (x, y) (b) 2t ∂f

∂t (t)+3t

∂f

∂t (t) (c) 2t ∂f

∂x (t

, t

)+3t

∂f

∂y (t

, t

) (d)





2t

(t

, t

) 3t

(t

, t

)





Question 2 – La matrice Hessienne de la fonction u(t, ω) = t e

est

(a)

(tω

+2ω) e

(t

ω +2t) e

(t

ω+2t) e

t

e

!

(b)

ω

e

t

e

t

e

t

ω e

!

(c)

(tω +1) e

t

e

!

(d) tω e

t

e

Question 3 – Parmi les champs ci-dessous, lequel est central (c.-` a.-d. poss` ede une sym´ etrie centrale) ? (a) sin(xyz) ~ k (b) y~ ı + z~  + x~ k (c) (r

+ 1) e ~

(d) sin ϕ ~ e

Question 4 – La divergence div − →

E du champ de vecteurs − →

E (r, ϕ, θ) = r sin ϕ ~ e

vaut

(a) r sin ϕ cos θ (b) sin ϕ (c) cos θ

sin θ (d) sin ϕ cos θ

sin θ

Question 5 – Le rotationnel − → rot − →

A du champ de vecteurs − →

A (ρ, ϕ, z) = ρ

sin ϕ~ k vaut

(a) ρ

cos ϕ ~ e

− 2ρ sin ϕ ~ e

(b) ρ cos ϕ ~ e

− 2ρ sin ϕ ~ e

(c) 3ρ sin ϕ − ρ cos ϕ ~ k (d) ~ 0

1

Exercice 1 [3.5 pts] – Chercher le ou les points critiques de la fonction f (x, y) = 5x

+ 6xy + 2y

+ 2x + 2y + 1 et d´ eterminer leur nature.

Exercice 2 [3.5 pts] – On consid` ere un rectangle de mati` ere D = [−1, 1] × [0, 1] ayant pour densit´ e de masse µ(x, y) = (x

+ 1)e

.

a) Trouver la masse totale du rectangle de mati` ere.

b) Trouver le barycentre G(x

, y

) du rectangle de mati` ere. Suggestion.– Lors du calcul de y

on pourra utiliser une int´ egration par partie pour traiter le facteur ye

.

c) On d´ ecoupe le rectangle en deux morceaux le long de la parabole y = x

. Quelle est l’aire de chacun des morceaux ?

Exercice 3 [4 pts] – Consid´ erons le champ de vecteurs de R

suivant

−

→ E (x, y) = cos x sin y~ ı + sin x cos y~  .

a) Expliquer pourquoi le champ − →

E est conservatif sur R

. b) Trouver un potentiel scalaire f tel que − →

E = −−→

grad f . c) Calculer la circulation de − →

E le long d’une courbe γ joignant le point A(0, 0) au point B(π/4, π/2).

Exercice 4 [4 pts] – Consid´ erons le champ de vecteurs de R

−

→ B (x, y, z) = (z − y)~ ı + (x

− 1)~  − x~ k

et la courbe param´ etr´ ee

γ(t) = cos t, sin t, sin t cos t

, t ∈ [0, 2π]

dessin´ ee ci-contre, qu’on appelle courbe de la crˆ epe parce qu’elle res- semble au bord d’une crˆ epe qu’on soul` eve avec une spatule.

a) Calculer le vecteur vitesse γ

(t) de la courbe.

b) Calculer la valeur − → B γ(t)

du champ de vecteurs sur les points de la courbe.

c) Calculer la circulation de − →

B le long de γ, en sachant que R

sin

t dt =

(t − sin t cos t).

2