Les calculatrices de poche sont autorisées, mais inutiles. Il s’agit d’une épreuve de mathématiques : toutes les r´ eponses devront donc ˆ etre justifi´ ees.

(1)

Deuxi` eme ´ epreuve de contrˆ ole continu de Maths I ( proposition )

08 d´ecembre 2007. Dur´ee : 1h30.

Veuillez inscrire lisiblement votre nom, votre pr´ enom et le num´ ero de votre groupe en tˆ ete de votre copie.

Tous les documents sont interdits.

Les calculatrices de poche sont autorisées, mais inutiles. Il s’agit d’une épreuve de mathématiques : toutes les r´ eponses devront donc ˆ etre justifi´ ees.

Exercice 1 (barˆ eme : ? points) 1) D´emontrer que, pour tout r´eel x :

cos x − sin x = √

2 cos(x + π 4 ).

2) Soit f la fonction x 7→ f (x) := e

^x

cos x. ´ Etudier les variations de f . (On pr´ecisera les intervalles sur lesquels f est croissante, resp. d´ecroissante.)

3) ´ Etudier les limites de f (x) lorsque x tend vers ±∞ . Exercice 2 (barˆ eme : ? points)

On rappelle que cosh x = e

^x

+ e

⁻^x

2 et sinh x = e

^x

− e

⁻^x

2 · On d´efinit la fonction “co- tangente hyperbolique” par :

cotanhx := cosh x sinh x ·

1) ´ Etudier cette fonction (domaine de d´efinition, variations, limites aux bornes du do- maine de d´efinition).

2) V´erifier que la fonction cotangente hyperbolique induit une bijection f : ]0, + ∞ [ → ]1, + ∞ [. L’application r´eciproque f

⁻¹

est-elle continue ? dérivable ? (On précisera les théorèmes utilisés.)

3) Soit y > 1. Calculer l’unique réel x tel que cotanhx = y. Les calculs devront être soigneusement justifiés.

Exercice 3 (barˆ eme : ? points)

1) Déterminer l’unique solution f (t) de l’équation différentielle y

⁰

= (1 − i)y qui satisfait la condition initiale f (0) = 1.

2) Donner toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle y

⁰

= (1 − i)y.

3) D´eterminer des complexes α et β tels que la fonction t 7→ (αt+β)e

ⁱ^t

soit une primitive de la fonction t 7→ t e

ⁱ^t

.

4) Résoudre l’équation différentielle y

⁰

− (1 − i)y = te

^t

Les calculatrices de poche sont autorisées, mais inutiles. Il s’agit d’une épreuve de mathématiques : toutes les r´ eponses devront donc ˆ etre justifi´ ees.

Deuxi` eme ´ epreuve de contrˆ ole continu de Maths I ( proposition )

08 d´ecembre 2007. Dur´ee : 1h30.

Veuillez inscrire lisiblement votre nom, votre pr´ enom et le num´ ero de votre groupe en tˆ ete de votre copie.

Tous les documents sont interdits.

Les calculatrices de poche sont autorisées, mais inutiles. Il s’agit d’une épreuve de mathématiques : toutes les r´ eponses devront donc ˆ etre justifi´ ees.

Exercice 1 (barˆ eme : ? points) 1) D´emontrer que, pour tout r´eel x :

cos x − sin x = √

2 cos(x + π 4 ).

2) Soit f la fonction x 7→ f (x) := e

cos x. ´ Etudier les variations de f . (On pr´ecisera les intervalles sur lesquels f est croissante, resp. d´ecroissante.)

3) ´ Etudier les limites de f (x) lorsque x tend vers ±∞ . Exercice 2 (barˆ eme : ? points)

On rappelle que cosh x = e

+ e

2 et sinh x = e

− e

2 · On d´efinit la fonction “co- tangente hyperbolique” par :

cotanhx := cosh x sinh x ·

1) ´ Etudier cette fonction (domaine de d´efinition, variations, limites aux bornes du do- maine de d´efinition).

2) V´erifier que la fonction cotangente hyperbolique induit une bijection f : ]0, + ∞ [ → ]1, + ∞ [. L’application r´eciproque f

est-elle continue ? dérivable ? (On précisera les théorèmes utilisés.)

3) Soit y > 1. Calculer l’unique réel x tel que cotanhx = y. Les calculs devront être soigneusement justifiés.

Exercice 3 (barˆ eme : ? points)

1) Déterminer l’unique solution f (t) de l’équation différentielle y

= (1 − i)y qui satisfait la condition initiale f (0) = 1.

2) Donner toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle y

= (1 − i)y.

3) D´eterminer des complexes α et β tels que la fonction t 7→ (αt+β)e

soit une primitive de la fonction t 7→ t e

.

4) Résoudre l’équation différentielle y

− (1 − i)y = te

. On pourra chercher une solution sous la forme f (t)g(t), o` u f (t) est la fonction déterminée à la question 1.

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