Documents de cours et TD uniquement autoris´ es. ´ Echanges interdits. Cal- culatrices inutiles mais autoris´ ees. Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

Examen de biostatistiques L3 MIV

M. Bailly-Bechet & H. Haned 5 juin 2009

Documents de cours et TD uniquement autoris´ es. ´ Echanges interdits. Cal- culatrices inutiles mais autoris´ ees. Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

Cette ´ epreuve est divis´ ee en deux parties. Il est fortement recommand´ e de traiter le plus compl` etement possible une des deux parties, plutˆ ot que de cher- cher ` a r´ epondre aux questions de mani` ere ´ eparpill´ ee. Il n’est th´ eoriquement pas possible pour un ´ etudiant de niveau L3 de terminer cet examen en 2h, choisissez-donc une partie et concentrez-vous dessus. Les r´ esultats propos´ es peuvent ˆ etre employ´ es mˆ eme s’ils n’ont pas ´ et´ e d´ emontr´ es.

1 Quelques d´ eveloppements sur le χ ² et l’ind´ ependance

1.1 Loi du χ

1. Donnez la d´ efinition d’une variable du χ

` a n degr´ es de libert´ e.

2. Soit X une variable al´ eatoire du χ

` a n degr´ es de libert´ e et Y une variable al´ eatoire du χ

` a p degr´ es de libert´ e. Ces deux variables sont ind´ ependantes. Quelle loi suit la variable al´ eatoire X + Y ? D´ emontrez votre r´ eponse.

3. Rappelez la formule de l’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire X suivant une loi de probabili´ e p(X = x) = p(x).

4. D´ emontrez que l’esp´ erance d’une v.a. du χ

` a 1 degr´ e de libert´ e vaut 1 (on rappelle la formule de l’int´ egration par parties : R

a

u

v = [uv]

− R

a

uv

).

1

5. Que pouvez-vous en d´ eduire sur l’esp´ erance d’une v.a. du χ

` a n degr´ es de libert´ e ? Il n’est pas n´ ec´ essaire de d´ emontrer ce r´ esultat, une justifi- cation suffira.

1.2 Ind´ ependance

Soient deux variables al´ eatoires discr` etes non ind´ ependantes, X et Y . La valeur de Y est d´ ependante de celle de X ; en effet on a :

X = 0 p(X = 0) =

(1)

X = 1 p(X = 1) =

(2)

Y = −1

( p(Y = −1|X = 0) =

p(Y = −1|X = 1) =

(3)

Y = 1

( p(Y = 1|X = 0) =

p(Y = 1|X = 1) =

(4)

On rappelle la formule de l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire Y condi- tionn´ ee ` a une autre v.a. X :

E(Y ) = X

X=x

p(x) X

Y=y

yp(y|x)

!

(5) 1. D´ emontrer que E(X) =

et E (Y ) = 0.

2. ´ Ecrivez la table des valeurs de la v.a. X + Y , c’est ` a dire l’ensemble de toutes les valeurs possibles de X + Y et la probabili´ e associ´ ee.

3. Calculer E(X +Y ). ` A-t-on l’´ egalit´ e E(X +Y ) = E(X)+E(Y ) ? Celle-ci serait-elle vraie si les variables X et Y ´ etaient ind´ ependantes ?

4. De la mˆ eme fa¸con, calculer E(XY ). ` A-t-on l’´ egalit´ e E(XY ) = E(X)E(Y ) ? Celle-ci serait-elle vraie si les variables X et Y ´ etaient ind´ ependantes ?

2

2 Fonctions de r´ epartition et test du maxi- mum

2.1 Statistique du maximum

On va d´ efinir une statistique, celle dite du maximum. Celle-ci consiste

`

a regarder la valeur la plus ´ elev´ ee dans un ´ echantillon, et ` a d´ eterminer la probabilit´ e qu’une telle valeur soit obtenue en tirant n variables avec une loi donn´ ee. Soit X une v.a. continue d´ efinie pour toutes les valeurs x > 0, de densit´ e de probabilit´ e p(x).

1. Quelle est la probabilit´ e d’obtenir, sur un tirage de la v.a. X, une valeur x ≤ k ?

2. Comment appelle-t-on ´ egalement cette quantit´ e ? En d´ eduire la proba- bilit´ e d’obtenir une valeur x > k. Ces calculs se font en fonction de p(x), inconnue pour le moment.

3. Si l’on effectue maintenant 2 tirages ind´ ependants de la v.a. X et que l’on ne garde que le maximum, quelle est la probabilit´ e que les deux valeurs tir´ ees x

et x

soient inf´ erieures ` a une valeur k donn´ ee ? En d´ eduire que :

P (max (x

, x

) ≤ k) = (F (k))

, (6) avec F (X) la fonction de r´ epartition de X.

4. G´ en´ eralisez cette formule au cas de n tirages, pour calculer P (max (x

, i = 1..n) ≤ k).

2.2 Test du maximum

A l’aide de ce qui a ´ ` et´ e fait dans la partie pr´ ec´ edente, on va chercher

`

a caract´ eriser les propri´ et´ es d’un test, le test du maximum. Le but de ce test est de comparer la loi de probabilit´ e suivie par la v.a.X ` a une loi de r´ ef´ erence p

(x) (on pourrait de fa¸con identique comparer leurs fonctions de r´ epartition). Pour cela on proc` ede ` a un test unilat´ eral. On tire n valeurs ind´ ependantes d’une variable al´ eatoire X, et on n’en garde que la valeur maximale x

. On compare la valeur x

` a la valeur maximale attendue (suivant la loi de probabilit´ e de r´ ef´ erence p

), avec un risque α, not´ ee z

, pour tester l’hypoth` ese :

3

H

: X suit la loi de densit´ e p

(7) H

: X ne suit pas la loi de densit´ e p

(8) Si x

≤ z

, on acceptera H

; sinon on rejettera H

au profit de H

. L’id´ ee intuitive derri` ere ce test est que si l’on connaˆıt la loi p

a laquelle on ` veut comparer notre ´ echantillon, on peut facilement calculer la probabilit´ e qu’une valeur donn´ ee soit le maximum d’un ´ echantillon, et ainsi r´ ealiser le test. Par souci de simplicit´ e, on n´ eglige ici la possibilit´ e que x

soit trop petit par rapport ` a la valeur attendue et que l’on doive rejetter H

pour cela.

1. Expliquez pourquoi z

est solution de l’´ equation :

(F

(z

))

= 1 − α, (9)

avec F

(x) la fonction de r´ eparition correspondant ` a la densit´ e de pro- babilit´ e p

(x).

On va supposer pour la suite que la loi p

est une loi exponentielle de pa- ram` etre a. Sa densit´ e de probabilit´ e est p

(Z = z) = ae

, avec a > 0.

2. Si Z suit une loi exponentielle de param` etre a, montrer que l’on a : z

= −1

a ln α

n , (10)

en employant l’approximation (1 − α)

= 1 − α

n , approximation qui n’est valable que pour α petit.

3. Quelle sera alors la valeur seuil du test comparant un ´ echantillon de 5 valeurs ` a la loi de probabilit´ e exponentielle de param` etre a = 2, au risque 5% ?

4. En conclusion, quels sont, selon vous, les d´ efauts de ce test du maxi- mum ? Quels en sont les avantages pratiques ?

4