ISITV-EDPP 2014 Examen - Documents autoris´es. Dur´ee: 2 heures.

(1)

ISITV-EDPP 2014 Examen - Documents autoris´ es.

Dur´ ee: 2 heures.

1. On suppose r´ eguli` ere les fonctions r´ eelles u et v d´ efinies sur un ouvert born´ e Ω de IR

^d

. On notera Γ le bord de Ω.

A l’aide des formules de Green, v´ erifier que Z

Ω

∆u(x) v(x) dx = Z

Ω

∆v(x) u(x) dx + Z

Γ

∂

n

u v dγ − Z

Γ

∂

n

v u dγ.

2. On consid` ere le probl` eme d’´ evolution suivant

∂

_t

u(t, x) + ∆v(t, x) = 0, t ∈ IR, x ∈ Ω

∂

t

v(t, x) − ∆u(t, x) = 0, t ∈ IR, x ∈ Ω

∂

n

u(t, x) = ∂

n

v(t, x) = 0, t ∈ IR, x ∈ Γ u(0, x) = u

₀

(x); v(0, x) = v

₀

(x), x ∈ Ω.

En multipliant la premi` ere ´ equation par u, la seconde par v, en sommant et en int´ egrant sur Ω, montrer formellement que

Z

Ω

|u(t, x)|

²

+ |v(t, x)|

²

dx = Z

Ω

|u

₀

(x)|

²

+ |v

₀

(x)|

²

dx, ∀t ∈ IR.

3. Ce probl` eme admet-il une solution stationnaire non triviale? A quoi peut-on s’attendre quant au comportement asymptotique en temps de la solution?

4. On propose le sch´ ema num´ erique en temps suivant, de pas δt:

u

ⁿ⁺¹

(x) − u

ⁿ

(x)

δt + ∆ v

ⁿ⁺¹

(x) + v

ⁿ

(x)

2 = 0, x ∈ Ω

v

ⁿ⁺¹

(x) − v

ⁿ

(x)

δt − ∆ u

ⁿ⁺¹

(x) + u

ⁿ

(x)

2 = 0, x ∈ Ω

∂

_n

u

ⁿ⁺¹

(x) = ∂

_n

v

ⁿ⁺¹

(x) = 0, t ∈ IR, x ∈ Γ u

⁰

(x) = u

0

(x); v

⁰

(x) = v

0

(x), x ∈ Ω.

(1)

Quel est le nom de ce sch´ ema? Quel est l’ordre d’approximation de ce sch´ ema? (Le justifier:

bonus).

5. Montrer que Z

Ω

|u

ⁿ

(x)|

²

+ |v

ⁿ

(x)|

²

dx = Z

Ω

|u

₀

(x)|

²

+ |v

₀

(x)|

²

dx, ∀n ∈ IN.

Que peut-on en d´ eduire en terme de stabilit´ e num´ erique?

6. Ecrire une formulation faible du probl` eme (1).

1

(2)

7. On suppose d = 1 et Ω =]0, 1[. R´ e´ ecrire la formulation faible pour un espace d’approximation W

_h

= V

_h

× V

_h

, bas´ ee sur la m´ ethode ´ el´ ement fini IP

₁

-conforme.

8. On suppose que (u

0

, v

0

) appartient ` a W

_h

. Montrer que que la solution approch´ ee (u

ⁿ_h

, v

_hⁿ

) v´ erifie _Z

Ω

|u

ⁿ_h

(x)|

²

+ |v

ⁿ_h

(x)|

²

dx = Z

Ω

|u

₀

(x)|

²

+ |v

₀

(x)|

²

dx, ∀n ∈ IN.

9. On note {φ

_i

}

_1≤i≤m

une base de V

h

et

u

ⁿ_h

(x) =

m

X

i=1

u

ⁿ_i

φ

i

(x), v

_hⁿ

(x) =

m

X

i=1

v

_iⁿ

φ

i

(x).

Expliciter le lien entre m et la discr´ etisation choisie de Ω =]0, 1[.

10. On note w

2i−1

= u

i

et w

2i

= v

i

. Expliciter la construction du syst` eme lin´ eaire permettant de construire W

ⁿ⁺¹

= (w

ⁿ⁺¹_i

)

1≤i≤2m

en fonction de W

ⁿ

.

11. La matrice du syst` eme lin´ eaire se d´ ecompose en A + B avec A qui discr´ etise

_δt¹

Id. La matrice B est-elle sym´ etrique? Anti-sym´ etrique? Justifier la r´ eponse.

12. Donner l’algorithme de construction de W

⁵⁰

.

2