Math´ematiques 218 Examen du 24 mai 2007 Dur´ee 2 heures Les documents et les calculettes ne sont pas autoris´es. Exercice 1 : On consid`ere u

Math´ ematiques 218

Examen du 24 mai 2007 Dur´ ee 2 heures

Les documents et les calculettes ne sont pas autoris´ es.

Exercice 1 : On consid` ere u

= (−1)

√ n ; v

= (−1)

√ n + 1 n

a) Quelle est la nature des s´ eries de terme g´ en´ eral u

et v

? b) Montrer que v

∼ u

quand n → ∞. Qu’en concluez-vous ? Exercice 2 : Soit f la fonction 2π-p´ eriodique et paire, d´ efinie par

f (x) =

( 1 si x ∈ [0, π/2]

2(1 −

x) si x ∈ [π/2, π]

1) Donner l’allure du graphe de cette fonction sur R.

2) On note

I

=

Z

−π

cos nxf (x)dx.

Calculer I

, et montrer que pour n ≥ 1, I

= 4

πn

(cos n π

2 − cos nπ)

3) D´ eterminer ainsi le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction f.

4) Calculer I

et I

pour k entier ≥ 0. En utilisant la s´ erie de Fourier de f en x =

, trouver la somme de la s´ erie

∞

X

p=0

1 (2 + 4p)

.

Exercice 3 : Des ´ etudiants se pr´ eparent ` a un examen. Trois enseignants

e

, e

, e

sont susceptibles de poser le sujet, avec la mˆ eme probabilit´ e. Les

´

etudiants ont fait l’impasse sur le chapitre ”R” du programme qui, selon que e

, e

ou e

pose le sujet, tombe pourtant avec probabilit´ e 1/10, 1/4 ou 1/2.

Le jour de l’examen arrive et ... le sujet porte sur le chapitre R ! Sachant cela, quelles sont les probabilit´ es que e

, e

ou e

ait pos´ e le sujet ?

Exercice 4 : Un boulanger fabrique 5 brioches de mˆ eme taille avec de la pˆ ate contenant 100 raisins. On choisit l’une des brioches et on note X le nombre de raisins qu’elle contient. Quelle est la loi de X ? Donner l’esp´ erance et la variance de X.

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