Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2011
Epreuve de Math´ ´ ematiques S3 SV S1
Dur´ ee 2 heures, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 5 points
Les deux questions sont ind´ependantes. La question marqu´ee par une ´etoile est un peu plus difficile.
1. Soit (E) l’´equation
z3+ (2 +i)z2+ 2(1 +i)z+ 2i= 0 dont l’inconnue est le nombre complexez. Montrer que
z3+ (2 +i)z2+ 2(1 +i)z+ 2i= (z+i)(z2+ 2z+ 2) En d´eduire les trois solutions de l’´equation (E).
2. (a) On s’int´eresse `a l’´equation (F) :
z+|z|= 1
Montrer que sizest solution, alorszest r´eel. En d´eduire la solution de l’´equation (F) (b) (*) Montrer que l’´equation (G) :
z+|z|=i n’admet aucune solution.
Second Exercice - 4 points Soitf la fonction d´efinie surRpar : f(x) =ex−e2x
1. D´eterminer les limites de f lorsquex tend vers +∞ et−∞.
2. Calculer la d´eriv´ee def, d´eterminer son signe et dresser le tableau de variation def. 3. Dessiner la courbe repr´esentative de f. On pourra utiliser le tableau ci-dessous.
ln 2∼0.7 ln 3∼1.1 ln 5∼1.6
e∼2.7 e−1 ∼0.37 e2 ∼7.4 e1/2 ∼1.6
Troisi`eme Exercice - 6 points
1. Trouver deux nombres r´eelsaetbtels que : 1
x2−4 = a
x−2 + b x+ 2 pour tout x.
2. Calculer l’int´egrale suivante, en faisant le changement de variablex=et : Z 2
1
dt et−4e−t 3. Calculer l’int´egrale suivante
Z 1
0
x+ 2 x2+ 1dx
Quatri`eme Exercice - 5 points
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1.
(1−x2)y0+xy = 0 On se limitera `a l’intervalleI =]−1,1[.
2.
y00−2y0+y=x+ 1
On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre. Pour l’´equation compl`ete, on cherchera une solution particuli`ere de la forme :
y =ax+b o`uaetb sont deux r´eels `a d´eterminer.
