Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

Universit´e Pierre et Marie Curie

M1 Math´ematiques fondamentales, 2014-2015 Cours de g´eom´etrie diff´erentielle

H. Eynard-Bontemps, A. Oancea

Examen partiel du 3 novembre 2014 Dur´ ee : 2 heures

Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

Les questions sont ind´ ependantes les unes des autres.

Questions.

1. Soient M, N Ď R ⁿ des sous-vari´et´es. Supposons que M Ď N.

Montrer que T _p M Ď T _p N pour tout p P M .

2. Soit M une sous-vari´et´e d’une vari´et´e N et X un champ de vecteurs d´efini sur un ouvert U de N contenant M et tangent `a M (i.e. tel que Xppq P T <sub>p</sub> M Ă T <sub>p</sub> N pour tout p P M ). Montrer que toute courbe int´egrale passant par un point de M est enti`erement contenue dans M.

3. En choisissant une d´efinition quelconque de l’espace tangent en un point `a une vari´et´e, d´emontrez l’identit´e

d p g ˝ f qp p q “ dg p f p p qq ˝ df p p q

pour deux applications lisses M Ñ ^f N Ñ ^g P et un point p P M .

4. Montrer que les champs X “ _B ^B _y ´x _B ^B _z et Y “ _B ^B _x sur R ³ ne peuvent pas ˆetre redress´es localement simultan´ement, i.e. qu’il n’existe pas de diff´eomorphisme local ϕ de R ³ tel que ϕ ˚ X et ϕ ˚ Y soient constants.

Indication : calculer le crochet de X et Y .

5. Soit E Ñ M un fibr´e vectoriel tel que toute section poss`ede au moins un z´ero. Montrer que E n’est pas trivial.

6. Est-ce que R muni de la topologie discr`ete et regard´e comme vari´et´e de dimension 0 est `a base d´enombrable ?

7. Donnez un exemple d’action propre et libre du groupe Z ˆ Z {3 sur une vari´et´e.

8. Montrez qu’un champ de vecteurs lin´eaire sur R ⁿ est complet.

9. Donner un exemple de champ de vecteurs d´ependant du temps dont le flot ne v´erifie pas la relation de groupe `a un param`etre de diff´eomorphismes.

10. Montrer qu’une vari´et´e est connexe si et seulement si elle est connexe par arcs.

1

2

11. Soit M vari´et´e et p, q P M tels que p ‰ q. Soient v P T _p M et w P T _q M fix´es. Montrer qu’il existe un champ de vecteurs lisse X sur M tel que X _p “ v et X _q “ w.

12. Soit f : M Ñ N un diff´eomorphisme et X P X pM q un champ de vecteurs de flot ϕ ^t _X . Montrer que le flot de f ˚ X est f ˝ ϕ ^t _X ˝ f ^´1 .

13. Soient X, Y P X pM q avec M vari´et´e. Montrer l’identit´e d

dt | t “ t

pϕ ^t _X q ^˚ Y “ pϕ ^t _X

q ^˚ L X Y.

14. Soit G un groupe de Lie et notons G 0 la composante connexe de l’´el´ement neutre. Montrer que G 0 est un sous-groupe distingu´e de G.

15. D´ecrire les courbes int´egrales d’un champ de vecteurs invariant

`a gauche sur le groupe de Lie T ² “ R ² { Z ² .

16. Montrer que le fibr´e tangent `a une sph`ere de dimension impaire

admet une section qui ne s’annule en aucun point.