Exercice 1. Orientabilit´ e de la sph` ere. Donner un atlas d’orientation de la sph` ere S

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 6 : Orientabilit´ e

Exercice 1. Orientabilit´ e de la sph` ere. Donner un atlas d’orientation de la sph` ere S

, c’est-` a-dire un atlas de S

dont les changements de carte ont un jacobien partout strictement positif.

Exercice 2. Hypersurfaces de R

.

1. Montrer que tout niveau r´ egulier M d’une fonction lisse f : U ⊂ R

→ R d´ efinie sur un ouvert de R

admet une normale unitaire lisse, c’est-` a-dire une application lisse ν : M → S

telle qu’en tout point x de M, ν (x) soit orthogonal ` a l’espace tangent T

M.

2. Montrer qu’une hypersurface quelconque M de R

est orientable si et seulement si elle admet une normale unitaire lisse. Retrouver ainsi l’orientabilit´ e de la sph` ere S

.

3. Montrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.

Exercice 3. Non-orientabilit´ e

1. Montrer qu’une vari´ et´ e n’est pas orientable si elle admet deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ) telles que U et V soient connexes et det(dϕ

◦ (dψ

)

) prenne ` a la fois des valeurs positives et n´ egatives lorsque x d´ ecrit U ∩ V .

2. Red´ emontrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.

3. Montrer que l’espace projectif RP

est orientable si et seulement si n est impair.

Exercice 4. Orientabilit´ e des espaces projectifs (bis). On consid` ere R P

comme le quo- tient de S

par {± Id} et on note p : S

→ RP

la projection canonique. On note en outre ω

la forme volume de S

d´ efinie par

∀x ∈ S

, ∀(v

, ..., v

) ∈ T

S

, (ω

)

(v

, ..., v

) = det(x, v

, ..., v

).

Supposons que R P

admette une forme volume α.

1. Montrer que ω = p

α est une forme volume sur S

satisfaisant (− Id)

ω = ω.

2. Il existe donc une fonction f lisse et de signe constant sur S

telle que ω = f ω

. Calculer (− Id)

ω

puis (− Id)

ω en fonction de ω

. En d´ eduire que n est n´ ecessairement impair, et que les espaces projectifs de dimension paire ne sont donc pas orientables.

3. Soit Γ un groupe discret agissant librement et proprement sur une vari´ et´ e X et p : X → V /Γ l’application de revˆ etement sur la vari´ et´ e quotient. Montrer que pour toute forme diff´ erentielle ω sur X satisfaisant

γ

ω = ω ∀γ ∈ Γ,

il existe sur X/Γ une unique forme diff´ erentielle α telle que p

α = ω, qui est une forme volume si ω l’est.

4. En d´ eduire que les espaces projectifs de dimension impaire sont orientables.

Exercice 5. Vari´ et´ es complexes. Montrer que toute vari´ et´ e complexe est orientable. On

rappelle qu’une vari´ et´ e diff´ erentiable est une vari´ et´ e complexe si (elle est de dimension r´ eelle

paire et qu’) elle poss` ede un atlas dont les changements de cartes, vus comme applications entre

ouverts de C

' R

, sont holomorphes.