Point mobile sans frottement sur une sph`ere

Point mobile sans frottement sur une sph`ere

Brunot-Le magoariec Andr´e

Un point M de masse m est plac´e `a l’instant initial sur le sommet A d’une sph`ere sur laquelle il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizon- tale v₀. Soit O le centre de la sph`ere et R son rayon, d´eterminer la r´eaction N de la sph`ere sur M en fonction de l’angle θ. Quelle est la valeur maximale θ_m de θ ? Quel est le mouvement ult´erieur ?

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R´eponse :

Le point M est soumis `a son poids et `a la r´eaction de la surface. Ecrivons le principe fondamental de la dynamique dans un r´ef´erentiel galil´een li´e `a la sph`ere, mais en utilisant un rep`ere mobile :

(Distinction entre r´ef´erentiel et rep`ere) m~γ = (N − mg cosθ) ~u+mg sinθ~u⁰

Pour exprimer γ on peut soit utiliser l’expression g´en´erale

~γ =

v² R

N +

dv dt

T

Qui s’´ecrit ici

~γ = −Rθ˙²~u + Rθ ~¨u⁰

Soit utiliser l’expression de l’acc´el´eration en coordonn´ees polaires qui donne directement la relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u⁰ :

N = m h

g cosθ − Rθ˙² i

g sinθ = Rθ¨

Pour obtenir N en fonction de θ, il faut connaˆıtre ˙θ;

deux m´ethodes sont possibles : ou bien multiplier la seconde relation par ˙θ et l’int´egrer, ou, ce qui est absolu- ment ´equivalent, ´ecrire le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :

g sinθθ˙ = Rθ¨θ˙ 2

En int´egrant : g

Z θ(t d´etermin´e) θ₀

sinθθdθ˙ = g(1 − cosθ) et

R

Z θ(t d´etermin´e) θ₀

θ¨θdθ˙ = R 2

hθ˙²iθ

θ₀ = 1 2

Rθ˙² − Rθ˙₀²

On obtient : 1 2

Rθ˙² − Rθ˙₀²

= g(1 − cosθ) 1

2mR²θ˙² = mgR(1 − cosθ) + 1

2mv₀² D’o`u

N = mg[3 cosθ − 2] − mv₀²/R La liaison ´etant unilat´erale, N ≥ 0, soit :

cosθ ≥ cosθ_m = 2/3 + v₀²/3Rg

Pour θ ≥ θ_m le point quitte la sph`ere et suit un mou- vement de chute libre. Le probl`eme change de nature, et il faut recommencer la mise en ´equation ; la tra- jectoire est parabolique. Remarquons que la condition cosθ ≤ 1 entraˆıne

v₀ < p Rg 3

Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sph`ere d`es le sommet A; on interpr`ete facilement cette condition en faisant appel `a la force centrifuge.

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