Sph` ere et g´ eom´ etrie dans l’espace
Exercice
Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide `a base carr´ee de hauteur SA telle que AB 9 cm et SA12 cm.
Le triangleSABest rectangle en A.
Partie A
EF GH est la section de la pyramideSABCD par le plan parall`ele `a la base et telle queSE 3 cm.
1.aCalculerEF. b. CalculerSB.
2.aCalculer le volume de la pyramide SABCD.
b. En d´eduire le volume deSEF GH. On donnera une valeur arrondie `a l’unit´e.
Partie B
SoitM un point deSAtel queSM xcm, o`uxest comprise entre 0 et 12.
On appelleM N P Qla section de la pyramideSABCD par le plan parall`ele`a la base passant parM.
1.Montrer queM N 0,75x.
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2.SoitApxql’aire du carr´eM N P Q en fonction dex.
Montrer queApxq0,5625x2.
3.Pour quelle valeur dexl’aireApxqest-elle ´egale `a l’aire d’unesph`ere de rayon 1,5 cm.
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Correction
Partie A
1.a. EF GH est la section de la pyramide SABCD par le plan parall`ele `a la base et telle que SE 3 cm.
Par cons´equent la pyramideSEF GH est une r´eduction de la pyramideSABCD de rapportk 3 12
1 4. DoncEF 1
4AB2,25 cm.
b. Dans le triangleSAB est rectangle enA.
D’apr`es le th´eor`eme de Pythagore on aSB2SA2 AB2. DoncSB2144 81225 etSA
?
22515.
2.a. Le volume deSABCD estV
AB2SA
3 324 cmˆ3.
b. Le volume de la pyramideSEF GH est donc : V1
1 4
3
V
81
16 5 cmˆ3.
Partie B
1.La pyramideSM N P Q est une r´eduction de rapportk x
12de la pyramideSABCD.
Par cons´equentM N x
12AB0,75x.
2.AinsiM N P Qest un carr´e et son aire estApxqp0,75xq20,5625x2. 3.L’aire de la sph`ere de rayon 1,5 cm estA14π1,529πcmˆ2.
On veut donc r´esoudre 0,5625x29πsoitx2 9π
0,5625 16π.
Puisque x¥0 on ax4
?
πcm.
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